【正文】 xxxxxy e Q x e d x ce x x e d x ce x x e d x cx x x d x cxx x c???????? ? ???????????????????????? ? ?????? ? ?????通 解 即通解為 ? ?cos 2y x x c? ? ?. 四、證明題（本題 4 分） 證明等式 ?? ???? aa a xxfxfxxf 0 )]()([)( dd。試求矩形的邊長為多少時，才能使圓柱體的體積最大。 21 =27 623lim222 ????? xxxxx 解：5131lim)2)(3x( )1)(2(lim 22 ?????? ?? ?? xxxxx xx xxy 12e? ，求 y? 解： ex xy 12 ?? ( ey x11?) , ey u?1 , xu 1? , xexeey xuu x 21211 )1()1()( ????????? ) eexexeexexx1x12x12x1x12x122)(2)()(y??????????????xx xx d)12( 10? ? 解： dxx? ? )12( 10 u=2x1 ,d? =2 du=2dx ∴cdududxuuux?????????? ?1121212111101010)12( cx ?? ? ）（ 12 1121 ?10 de xx x 解： dxx ex? ?10 u=x , exv?? , exv? 1)1(101010 |???? ??? ?? ee dxxdxx eeexxx 四、應(yīng)用題（本題 16分） 用鋼板焊接一個容積為 4 3m 的底為正方形的無蓋水箱，已知鋼板每平方米 10元，焊接費 40元，問水箱的尺寸如何選擇，可使總費最低？最低總費是多少？ 解：設(shè)水箱的底邊長為 x，高為 h,表面積為 s，且有h=x24 所以 S(x)=x2+4xh=x2+x16? xxS 2162 ??? 令 S? （ x） =0，得 x=2 因為本問題存在最小 值，且函數(shù)的駐點唯一，所以 x=2，h=1時水箱的表面積最小。 (2x)′ =eu (x1)′ =2+648 答案： xe 221 ?? 或 24 xe?? 3．若 ? ?? cxxxf xed)( ，則 ?)(xf ． 答案：xx xee ? 或 ? ?1 xxe? 4．若 ? ?? cxxxf 2sind)( ，則 )(xf ． 答案：xcos2 或 2cos2x 5．若 cxxxxf ??? lnd)( ，則 ?? )(xf ．答案：x1 6．若 ? ?? cxxxf 2cosd)( ，則 ?? )( xf ． 答案： xcon24? 7． ?? ? xx ded 2 dxex2? ．答案： dxex2? 8． ??? xx d)(sin ． 答案： cx?sin 9 ． 若 ? ?? cxFxxf )(d)( ，則? ?xxf d)32( ．答案： cxF ?? )32(21 10 ． 若 ? ?? cxFxxf )(d)( ，則? ?? xxxf d)1( 2 ． 答案： cxF ??? )1(21 2 二、單項選擇題（每小題 2 分，共 16 分） 1．下列等式成立的是（ ） ．答案： A A． )(d)(dd xfxxfx ?? B． )(d)( xfxxf ??? C． )(d)(d xfxxf ?? D． )()(d xfxf ?? 3．若 cxxxf x ??? 22 ed)( ，則 ?)(xf （ ） . 答案： A A. )1(e2 2 xx x ? B. xx 22e2 C. xx2e2 D. xx2e 4．若 )0()( ??? xxxxf ，則 ??? xxf d)( （ ） . 答案： A A. cxx ?? B. cxx ??2 C. cxx ?? 232 23 D. cxx ?? 232 3221 5．以下計算正確的是（ ） 答案： A A ． 3ln3dd3 xx x? B ． )1(d1 d 22 xxx ??? C． xxx dd ? D． )1d(dln xxx ? 6． ???? xxfx d)( （ ） 答案： A A. cxfxfx ??? )()( B. cxfx ?? )( C. cxfx ?? )(21 2 D. cxfx ??? )()1( 7． ? ? xa xdd 2 =（ ）． 答案： C A． xa2? B． xaa x dln2 2?? C． xa xd2? D． cxa x ?? d2 8．如果等式 ? ??? ?? Cxxf xx 11 ede)( ，則 ?)(xf （） 答案 B A. x1? B. 21x? C. x1 D. 21x 三、計算題（每小題 7 分，共 35 分） 1． ? ?? xx xxx dsin3 3 解 cxxxdxxxxxx xxx ????????? ?? c os32ln3)s i n3(ds i n3 233或 32s in 3 l n c o s3x x d x x x x x cx??? ? ? ? ? ?????? 2． xx d)12( 10? ? 解 ? ? ? ? ? ? ? ?10 1 1 1 11 1 1 12 1 2 1 2 1 2 12 2 1 1 2 2x d x x c x c? ? ? ? ? ? ? ? ?? 3 ． xx xd1sin2? 解 cxxdxdxx x ???? ?? 1c o s)1(1s i n1s i n2 4． ? xxx d2sin 1 1 1 1 1c o s 2 c o s 2 c o s 2 c o s 2 s in 22 2 2 2 4x d x x x x d x x x x c? ? ? ? ? ? ? ???5． ? ? xxexd 解 ? ?1x x x x x xx d e x e e d x x e e c x e c? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 四、極值應(yīng)用題（每小題 12 分，共 24 分） 1． 設(shè)矩形的周長為 120 厘米，以矩形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得一圓柱體。 答案： xe 221 ?? 或 24 xe?? 3．若 ? ?? cxxxf xed)( ，則 ?)(xf ． 答案：xx xee ? 或 ? ?1 xxe? 4．若 ? ?? cxxxf 2sind)( ，則 )(xf ． 答案：xcos2 或 2cos2x 5．若 cxxxxf ??? lnd)( ，則 ?? )(xf ．答案：x1 6．若 ? ?? cxxxf 2cosd)( ， 則 ?? )(xf ． 答案： xcon24? 7． ?? ? xx ded 2 dxex2? ．答案： dxex2? 8． ??? xx d)(sin ． 答案： cx?sin 9 ． 若 ? ?? cxFxxf )(d)( ，則? ?xxf d)32( ．答案： cxF ?? )32(21 10 ． 若 ? ?? cxFxxf )(d)( ，則? ?? xxxf d)1( 2 ． 答案： cxF ??? )1(21 2 二、單項選擇題（每小題 2 分，共 16 分） 1．下列等式成立的是（ ） ．答案： A A． )(d)(dd xfxxfx ?? B． )(d)( xfxxf ??? C． )(d)(d xfxxf ?? D． )()(d xfxf ?? 3．若 cxxxf x ??? 22 ed)( ，則 ?)(xf （ ） . 答案： A A. )1(e2 2 xx x ? B. xx 22e2 C. xx2e2 D. xx2e 4．若 )0()( ??? xxxxf ，則 ??? xxf d)( （ ） . 答案： A A. cxx ?? B. cxx ??2 C. cxx ?? 232 23 D. cxx ?? 232 3221 5．以下計算正確的是（ ） 答案： A A ． 3ln3dd3 xx x? B ． )1(d1 d 22 xxx ??? C． xxx dd ? D． )1d(dln xxx ? 6． ???? xxfx d)( （ ） 答案： A A. cxfxfx ??? )()( B. cxfx ?? )( C. cxfx ?? )(21 2 D. cxfx ??? )()1( 7． ? ? xa xdd 2 =（ ）． 答案： C A． xa2? B． xaa x dln2 2?? C． xa xd2? D． cxa x ?? d2 8．如果等式 ? ??? ?? Cxxf xx 11 ede)( ，則 ?)(xf （） 答案 B A. x1? B. 21x? C. x1 D. 21x 三、計算題（每小題 7 分，共 35 分） 1． ? ?? xx xxx dsin3 3 解 cxxxdxxxxxx xxx ????????? ?? c os32ln3)s i n3(ds i n3 233或 32s in 3 l n c o s3x x d x x x x x cx??? ? ? ? ? ?????? 2． xx d)12( 10? ? 解 ? ? ? ? ? ? ? ?10 1 1 1 11 1 1 12 1 2 1 2 1 2 12 2 1 1 2 2x d x x c x c? ? ? ? ? ? ? ? ?? 3 ． xx xd1sin2? 解 cxxdxdxx x ???? ?? 1c o s)1(1s i n1s i n2 4． ? xxx d2sin 1 1 1 1 1c o s 2 c o s 2 c o s 2 c o s 2 s in 22 2 2 2 4x d x x x x d x x x x c? ? ? ? ? ? ? ???5． ? ? xxexd 解 ? ?1x x x x x xx d e x e e d x x e e c x e c? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 四、極值應(yīng)用題（每小題 12 分，共 24 分） 1． 設(shè)矩形的周長為 120 厘米，以矩形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得一圓柱體。答案： 24a? 6． ???e1 2 d)1ln(dd xxx . 答案： 0 7． xxde0 2???= ．答案：21 8．微分方程 1)0(, ??? yyy 的特解為 . 答案： 1或 xye? 9．微分方程 03 ??? yy 的通解為 . 答案： xe3? 或3xy ce?? 10．微分方程 xyxyy s in4)( 7)4(3 ???? 的階數(shù)為 ．答案： 2或 4 二、單項選