【正文】 四）解答題【練習(xí)19】在中，．
（1）求；（2）求邊上的高．【解析】（1）在中，因?yàn)椋?，所以．由正弦定理得，∴．因?yàn)?，所以，所以．?）在中，因?yàn)椋鐖D所示，在中，因?yàn)?，所?，所以邊上的高為．【練習(xí)20】在△中，內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，且，點(diǎn)在邊上，平分．（1）若，求；（2）若，求面積的最小值．【解析】（1）由得，． 2分所以，．因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以．所以，由正弦定理得，因此有．?）過(guò)點(diǎn)D作∥BC交AB于點(diǎn)E，因?yàn)锽D平分，所以．由得，．因?yàn)?，所以，即，所以．由得，故（?dāng)時(shí)取號(hào)）所以△面積的最大值是．【練習(xí)21】在平面四邊形中, ．（1）求的值。②最大值為1。＋α（k∈Z）的誘導(dǎo)公式將大于360176。的三角函數(shù)；（3）“小化銳”，將大于90176。（2）求函數(shù)的值域. 【解析】（1）若函數(shù)滿足條件④,則,這與矛盾，不滿足條件④.所以只能滿足條件①②③,由條件①，,由條件②， 由條件③，,. （2） 所以函數(shù)的值域是.【練習(xí)23】從①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并加以解答．已知的內(nèi)角，所對(duì)的邊分別為，若 ，且，證明：是等邊三角形．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【解析】證明：選①根據(jù)正弦定理可得， 即，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以?因?yàn)?，所以?利用余弦定理，得， 又因?yàn)?，所以，解得?因?yàn)榍?，所以是等邊三角形?選②，因?yàn)椋肷鲜娇傻茫?根據(jù)正弦定理可得， 因?yàn)?，所以，可得，則， 因?yàn)?，所以，利用余弦定理，得?又因?yàn)?，所以，解得?因?yàn)榍?，所以是等邊三角形?選擇③根據(jù)正弦定理可得， 因?yàn)椋?，可得?所以因?yàn)椋?，則可得，所以， 利用余弦定理，得， 又因?yàn)?，所以，解得?因?yàn)榍?，所以是等邊三角形．【練?xí)24】在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中.問(wèn)題：在?ABC中，角、對(duì)應(yīng)的邊分別為、若，___________，求角的值和的最小值.【解析】若選擇①：在中，有，則由題可得：，，又，所以，則.又，所以，因?yàn)?，所以?由余弦定理可得：，又，所以，當(dāng)時(shí)，即的最小值為；若選擇②：在中，有，則由題可得，解得或（舍去），又，所以.（剩下同①）若選擇③：由正弦定理可將已知條件轉(zhuǎn)化為，代入上式得，又，所以，.又，所以.（剩下同①）【練習(xí)25】已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的定義域；（2）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（3）求證：當(dāng)時(shí)，．【解析】（1）由得，.所以函數(shù)的定義域?yàn)?（2）由得：，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為：.（3）由（2）得，.當(dāng)時(shí)，與單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增.又，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.故.【練習(xí)26】已知函數(shù).（1）求證：的導(dǎo)函數(shù)在上存在一零點(diǎn)；（2）求證：有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn).【解析】（1）因?yàn)?，所以設(shè)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，又因數(shù)，且當(dāng)時(shí)，的圖像不間斷，所以在上有唯一的零點(diǎn)，所以命題得證.（2）①由（1）知：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以在上存在唯一的極大值點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所以在上恰有一個(gè)零點(diǎn).又因?yàn)椋栽谏弦睬∮幸粋€(gè)零點(diǎn).②當(dāng)時(shí)，設(shè)，所以在上單調(diào)遞減，所以，即在上沒(méi)有零點(diǎn).③當(dāng)時(shí)，設(shè)，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以當(dāng)時(shí)，恒成立.所以在上沒(méi)有零點(diǎn).綜上，有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).【練習(xí)27】（1）求函數(shù)在的最大值；（2）證明：函數(shù)在有兩個(gè)極值點(diǎn)，且.【解析】（1），則在上單調(diào)遞增，又，所以在有唯一的零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增.又，所以在的最大值為.（2），則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又，所以在有唯一的零點(diǎn)，此時(shí)，時(shí)，；時(shí)，所以是極小值點(diǎn)，不妨令.當(dāng)時(shí)，所以；當(dāng)，設(shè).由（1）知， 有唯一的零點(diǎn)，則時(shí)，單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增又，所以在有唯一的零點(diǎn)，此時(shí)時(shí)，；時(shí)，所以是極大值點(diǎn)，即，所以在有兩個(gè)極值點(diǎn)，其中，且，由于，所以.因?yàn)?，所以，?又，所以，同理，所以. 【練習(xí)28】已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若是函數(shù)的極大值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，∴，令，則，在上單調(diào)遞減，∵，∴時(shí)，時(shí)，.當(dāng)時(shí)，∴，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，∴，單調(diào)遞減，綜上，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）令，則，當(dāng)，時(shí)，單調(diào)遞減，∴時(shí)，∴，即在上單調(diào)遞增，時(shí)，∴，即在上單調(diào)遞減，故是函數(shù)的極大值點(diǎn)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，存在使得，即，又在上單調(diào)遞減，∴時(shí)，∴，這與是函數(shù)的極大值點(diǎn)矛盾.綜上，.