20xx屆云南省昆明市高三上學(xué)期”三診一模“摸底診斷測(cè)試數(shù)學(xué)(文)試題(含解析)(更新版)
【正文】 交于A，B兩點(diǎn)，過作直線l的平行線，交C于R，N兩點(diǎn)，記的面積為，的面積為，試問：是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）存在，最大值為6.【分析】（1）根據(jù)離心率可以得到關(guān)系式，根據(jù)面積的最大值為，可得到，根據(jù)橢圓中有，三個(gè)關(guān)系式可解出，從而得到橢圓方程.（2）根據(jù)題意，分斜率存在和不存在的情況，設(shè)出直線l的方程. 再設(shè)出A,B坐標(biāo)，與橢圓方程聯(lián)立，換元，利用基本不等式求出最大值.【詳解】解：（1）設(shè)橢圓C的半焦距為c，由題知面積取得最大值時(shí)，為為上下頂點(diǎn)時(shí)取得，故則，解得所以橢圓方程.（2）當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線，將代入，得，恒成立，所以，由，則，則，令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，即，時(shí)，取最大值為6.當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)，.綜上，當(dāng)時(shí)，的最大值為6.【點(diǎn)睛】（1）解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．（2）涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．22．平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)，若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求.【答案】（1）C：，l：；（2）.【分析】（1）由參數(shù)方程結(jié)合同角三角函數(shù)平方關(guān)系，即可寫出曲線C的普通方程；應(yīng)用兩角和正弦公式展開極坐標(biāo)方程，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系即可寫出直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）將直線l轉(zhuǎn)化為的參數(shù)方程，代入曲線C的方程，設(shè)，應(yīng)用韋達(dá)定理求，進(jìn)而可求.【詳解】解：（1）由題設(shè)有，由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，得C：.由得：，即，∴直線l的直角坐標(biāo)方程為.（2）直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，代入曲線C的方程得：，整理得，可設(shè)，∴，即，異號(hào)，故.23．已知函數(shù).（1）當(dāng)，時(shí)，求不等式的解集；（2）設(shè)，若的最小值為2，證明∶.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）利用零點(diǎn)討論法解絕對(duì)值不等式；（2）利用絕對(duì)值三角不等式得到a+b=2,再利用基本不等式求的最小值.【詳解】解：（1）將，代入，得，等價(jià)于：或或，解得：或.所以不等式的解集為.（2）證明：，因?yàn)榈淖钚≈禐?，且，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào).所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查解絕對(duì)值不等式，絕對(duì)值三角不等式和基本不等式求最值，解絕對(duì)值不等式主要運(yùn)用零點(diǎn)分段討論方法.
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