20xx屆山東省濟寧市上學期高三質量檢測數學試題(含解析)(更新版)
【正文】 為圓心．設，健身廣場的面積為．（1）求出關于的函數解析式；（2）當角取何值時，健身廣場的面積最大？【答案】（1）（）；（2）時，健康廣場的面積最大，最大值為．【分析】（1）由已知，從而可表示出關于的函數解析式.（2）設,利用導數求出其最大值，即可得到健身廣場的面積最大，得到答案.【詳解】（1）由已知得，等腰底邊上的高為，所以所以（）．（2）設，則，由得，得，由在上單調遞增，在上單調遞減，所以時，所以，即時，健康廣場的面積最大，最大值為．【點睛】關鍵點睛：本題考查函數模型的選及其應用，利用導數求最值，解答本題的關鍵是設，求導數得出單調區(qū)間，得出最值，屬于中檔題.20．已知函數．（1）討論函數的單調性；（2）若在上恒成立，求整數的最大值．【答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）求得，分、兩種情況討論，分析導數在上的符號變化，由此可得出函數的單調遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）由參變量分離法得出，構造函數，利用導數求出函數在上的最大值，進而可得出整數的最大值.【詳解】函數的定義域為.（1）因為，所以．當時，對恒成立；當時，由得，得．綜上，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增；（2）由得，所以，即對恒成立．令，則，令，則，因為，所以，所以在上單調遞增，因為，所以存在滿足.當時，；當時，.所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以，因為，所以的最大值為．【點睛】結論點睛：利用參變量分離法求解函數不等式恒（能）成立，可根據以下原則進行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.21．已知橢圓的離心率為，點在橢圓上，、分別為橢圓的上、下頂點，動直線交橢圓于、兩點，滿足，垂足為．（1）求橢圓的標準方程；（2）求面積的最大值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據已知條件可得出關于、的方程組，解出這三個量的值，由此可得出橢圓的標準方程；（2）分析可知直線的斜率存在，設直線的方程為，設點、將直線的方程與橢圓的方程聯立，列出韋達定理，由已知條件可得，代入韋達定理計算得出的值，求出直線所過定點的坐標，將直線與的方程聯立，求出點的橫坐標，利用三角形的面積公式結合基本不等式可取得結果.【詳解】（1）由題意知，解得，所以橢圓的標準方程為．（2）若直線軸時，則點、關于軸對稱，則為等腰直角三角形，由可知點在軸上，此時，不存在.當直線的斜率存在，設直線方程為，其中，由，得，設、則，因為，且，所以，所以，即，因為，所以，所以，所以，滿足．所以直線的方程為，即直線過定點．因為存在，所以，所以，直線的斜率為，直線的方程為，聯合，解得，（為點的橫坐標），所以，當且僅當時，即當即等號取得，即面積的最大值為．【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來求最值；二是代數法，常將圓錐曲線的最值問題轉化為二次函數或三角函數的最值問題，然后利用基本不等式、函數的單調性或三角函數的有界性等求最值．22
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