20xx屆江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市高三下學期3月教學情況調(diào)研(一)數(shù)學試題(含解析)(更新版)
【正文】 交橢圓C于兩個不同點，且以線段為直徑的圓經(jīng)過原點O，求該直線的方程；（2），過F作x軸的垂線，：為定值.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）設過點的直線為交于橢圓，聯(lián)立直線和橢圓的方程得到韋達定理，求出直線的斜率即得解；（2）分析得到直線與橢圓相切，設直線的方程為，聯(lián)立直線和橢圓方程得到，求出,再把代入化簡即得解.【詳解】（1）設過點的直線為交于橢圓聯(lián)立消去y得又因為以線段為直徑的圓經(jīng)過原點，則則所求直線方程（2）已知橢圓的離心率為，右準線直線n的方程為，因為直線上只有一點到F的距離與到直線n的距離之比為，所以直線與橢圓相切，設直線的方程為，聯(lián)立消去y得到：①聯(lián)立點N坐標為得到,由①【點睛】方法點睛：定值問題：在幾何問題中，有些幾何量與參數(shù)無關，這就構成了定值問題，定值問題的處理常見的方法有：（1）特殊探究，一般證明.（2）直接求題目給定的對象的值，證明其結果是一個常數(shù).22．已知函數(shù).（1）當時，一次函數(shù)對任意，恒成立，求的表達式；（2）討論關于x的方程解的個數(shù).【答案】（1）；（2）答案見解析.【分析】（1）當時，設，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值得出，得到，設，根據(jù)，轉化為恒成立，求得，再根據(jù)，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最大值，得到，進而求得解析式；（2）由方程，化簡得到，令，得到，設，求得，分和，結合函數(shù)的單調(diào)性與極值，以及零點的存在性定理，即可求解.【詳解】（1）當時，函數(shù)，可設， 則，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，又因為，所以，設，因為，所以在上恒成立所以在上恒成立，所以，解得，所以，又由，可得，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減，所以當時，取得最大值，最大值為，所以，綜上（2）由方程，整理可得，即，可得，令，可得，即，設，可得，①當時，可得，此時單調(diào)遞減，又由，所以此時函數(shù)在上只有一個零點，即方程只有一個零點.②當 可得，令，則，（i）當時，即時，可得，即，此時單調(diào)遞增，又由，所以此時函數(shù)在上只有一個零點，即方程只有一個零點.（ii）當時，即時，此時，即方程有兩解，且，不妨設，則當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞減；當時，函數(shù)取得極大值，當，函數(shù)取得極小值，又因為，所以，當時，所以在上有唯一的解；因為時，當時，可得所以且，解得，所以在上恰有一根，所以可得函數(shù)在上恰有三根，綜上可得，當或時，方程恰有一根；當時，方程恰有三根.【點睛】求解有關函數(shù)零點問題的常用方法與策略：分類參數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)零點個數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為從中分離參數(shù)，然后利用求導的方法求出由參數(shù)構造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)的取值范圍；分類討論法：一般命題情境為沒有固定的區(qū)間，求滿足函數(shù)零點個數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為結合函數(shù)的單調(diào)性，先確定參數(shù)分類標準，在每個小范圍內(nèi)研究零點的個數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各個小范圍并在一起，即可為所求參數(shù)的范圍.21。
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