20xx屆河南省名校聯(lián)盟高三下學期4月聯(lián)考(一)數(shù)學(理)試題(含解析)(更新版)
【正文】 、古典概型等知識．20．已知定點，圓，點為圓上動點，線段的垂直平分線交于點，記的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）設，為拋物線上一動點，過點作拋物線的切線交曲線于，兩點，求面積的最大值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由題意可得動點的軌跡是以，為焦點，長軸長為的橢圓，即可得的方程；（2）利用導數(shù)求得直線的方程代入橢圓方程，根據(jù)兩根關(guān)系求得表達式，再求點到直線的距離，從而寫出面積的表達式，利用二次函數(shù)求得最大值即可．【詳解】解：由題意可得，所以動點的軌跡是以，為焦點，長軸長為的橢圓，即曲線的方程為.設曲線上的點，因為，所以直線的方程為，即，①將①代入橢圓方程中整理，得．則有．且，.所以設點到直線的距離為，則.所以的面積.當時取到等號，經(jīng)檢驗此時，滿足題意．綜上，面積的最大值為．【點睛】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應用題設中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．21．已知函數(shù)，.（1）若在上為單調(diào)遞減函數(shù)，求的取值范圍；（2）設函數(shù)有兩個不等的零點，且，若不等式恒成立，求正實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）對函數(shù)求導，根據(jù)單調(diào)遞減函數(shù)與導數(shù)的關(guān)系，進行常變量分離，構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)進行求解即可；（2）根據(jù)零點的定義可以得到，求出的表達式，通過構(gòu)造新函數(shù)，利用二次求導法進行求解即可.【詳解】解：（1），由，令，當時，；當時，．在上為單調(diào)遞增函數(shù)，在上為單調(diào)遞減函數(shù).，.（2）函數(shù)有兩個不等的零點且，兩式相除得，若證不等式恒成立，即證，即證，令，.①時，在上為單調(diào)遞減函數(shù)，在為單調(diào)遞增函數(shù)， 滿足條件.②時，當時，在上為單調(diào)遞增函數(shù)，在上為單調(diào)遞減函數(shù)．，不滿足條件，舍去.綜上，正實數(shù)．【點睛】方法點睛：構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)解決不等式恒成立問題是常見的方法，本題采用二次求導法.22．在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系．曲線的方程為，曲線的極坐標方程為．（1）求曲線的極坐標方程和曲線的普通方程；（2）曲線分別交曲線和曲線于點，求的最大值及相應的值.【答案】（1）；；（2）；.【分析】（1）根據(jù)直角坐標方程與極坐標方程互化公式進行求解即可；（2）利用極坐標方程求出的表達式，結(jié)合輔助角公式、正弦型函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】解：（1）曲線的普通方程為，由，得的極坐標方程為，由曲線的極坐標方程為，得曲線的普通方程為．（2）由曲線 的極坐標方程為，令，則，又因為，.，當 ，即時，取得最大值.23．已知．（1）當時，求不等式的解集；（2）對實數(shù)，證明.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）當時，討論、可得答案；（2）由（1）得，利用基本不等式可得答案.【詳解】（1）當時，當時，不滿足；當時，當時，滿足，所以不等式的解集.（2）證明：，①， ②，當且僅當，即時取等號，①②兩不等式相加得，.【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.26
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