高中數(shù)學(xué)總結(jié)導(dǎo)數(shù)知識梳理(完整版)
【正文】 如一物體的運動方程是 ，其中 的單位是米， 的單位是秒，那么物體在時的瞬時速度為 _____（答： 5 米 /秒） 如果函數(shù) 在開區(qū)間（ a,b）內(nèi)可導(dǎo)，對于開區(qū)間（ a,b）內(nèi)的每一個 ，都對應(yīng)著一個導(dǎo)數(shù) ，這樣 在開區(qū)間（ a,b）內(nèi)構(gòu)成一個新的函數(shù)，這一新的函數(shù)叫做在開區(qū)間（ a,b）內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，記作 ，導(dǎo)函數(shù)也簡稱為導(dǎo)數(shù)。①求 的值；②求過點 的曲線 的切線方程 （答：① 1；② 或 ）。歸結(jié)起來，大約有四種主要類型的問題： 第一類是研究運動的時候直接出現(xiàn)的，也就是求即時速度的問題。 牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點是直觀的無窮小量，因此這門學(xué)科早期也稱為無窮小分析，這正是現(xiàn)在數(shù)學(xué)中分析學(xué)這一大分支名稱的來源。 1686 年，萊布尼茨發(fā)表了第一篇積分學(xué)的文獻(xiàn)。 其實，牛頓和萊布尼茨分別是自己獨立研究，在大體上相近的時間里先后完成的。 直到 19 世紀(jì)初，法國科學(xué)學(xué)院的科學(xué)家以柯西為首，對微積分的理論進(jìn)行了認(rèn)真研究，建立了極限理論，后來又經(jīng)過德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯進(jìn)一步的嚴(yán)格化，使極限理論成為了微積分的堅定基礎(chǔ)。 g（ x） ]’= f（ x） ’g（ x） + f（ x） g（ x） ’ [f(x)g(x)]’=f′(x)g(x)?f(x)g′(x)[g(x)]2 [4] （ 1）已知函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)為 ，則 _____（答： ）； （ 2）函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)為 __________（答： ）； （ 3）若對任意 ， ，則 是 ______（答： ）[1] 四、 部分初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式推導(dǎo) 1. 設(shè) f（ n） =(1 + 1n)n f（ n+1） =(1+ 1n+1)n+1=? =e 輔助結(jié)論： a1+a2+a3ann （他們?nèi)笥诹惝?dāng)且僅當(dāng)他們各自相等時才取等號） ∵ f(n) = (1 + 1n)n = (1 + 1n)(1 + 1n) ln a 5. 試求 f(x) = sinx的導(dǎo)函數(shù) f′(x) f′(x) =lim△x→0 (sin(x+△x)+sin x△x ) sin(x +△ x) = sin [(x + △ x2 ) + △ x2 ] sinx = sin [(x +△ x2 ) ?△ x2 ] f′(x) =lim△x→0 (cos(x+△x2 )記作＝ 。（答：高為 米時，容積最大為 ） 特別注意： （ 1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值（極值）時，要注意列表！（ 2）要善于應(yīng)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ，考察函數(shù)單調(diào)性、最值 (極值 )，研究函數(shù)的性態(tài)，數(shù)形結(jié)合解決方程不等式等相關(guān)問題。)()( xxxfxxxfxfxf 若取前兩項來近似代替 f (x)（稱為 f (x)的線性化），則得近似的線性方程 0))((39。 牛頓法有明顯的幾何意義。 [6] 擴展閱讀：人民教育出版社 課程教材研究所 中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心，普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗教科書 數(shù)學(xué) 選修 22 A 版， 2021 年 1 月第 2 版，北京，人民教育出版社，2021， 2021 References [1] [2] [3]人民教育出版社 課程教材研究所 中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心，普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗教科書 數(shù)學(xué) 選修 22 A 版， 2021 年 1 月第 2 版，北京，人民教育出版社， 2021， 14 [4] 人民教育出版社 課程教材研究所 中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心，普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗教科書 數(shù)學(xué) 選修 22 A 版， 2021 年 1 月第 2 版，北京，人民教育出版社， 2021， 15 [5] [6
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