【正文】 +)+L+(n+Ln+n)***22211111n+++L+(共n個(gè))=1+ 222222四．利用遞推關(guān)系式放縮利用遞推關(guān)系式產(chǎn)生的不等關(guān)系，在很多題目中可以起到很好的放縮效果。bk2n+[(1+2)+(2+3)+L+(n+n+1)]=2n+(+n+1)2n333333333k=1\bn2(1)=2,f(n+1)=f(n)+f(n),求證：229。k12nna2232323322222k=1k+1k=1“裂項(xiàng)法求和”在例1中，不等式的左邊無(wú)法求和，但通過(guò)放縮產(chǎn)生裂項(xiàng)相消的求和效果后，使問(wèn)題解決。kSn229。3(n1)180。那怎么辦呢？1．調(diào)整放縮的“量”的大小分析2：分析1中“放”的有點(diǎn)過(guò)大，因?yàn)?1，放大了1111，K所以可以2221180。：挖掘不等式的結(jié)構(gòu)特征和函數(shù)內(nèi)涵來(lái)構(gòu)造單調(diào)數(shù)列或單調(diào)函數(shù)，利用單調(diào)性、值域產(chǎn)生的不等關(guān)系進(jìn)行放縮。證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強(qiáng)，需要有較高的放縮技巧從而充滿(mǎn)思考性和挑戰(zhàn)性。22180。22nn12n1n+***17)]=1+(1+)]2．調(diào)整放縮的“項(xiàng)”的起點(diǎn)分析3：分析1中從第二項(xiàng)開(kāi)始放縮，放的最終有點(diǎn)大。三、常見(jiàn)的問(wèn)題類(lèi)型數(shù)列型不等式的一邊常與求和有關(guān)，所以可以通過(guò)放縮后求和(或求和后放縮)來(lái)達(dá)到欲證的目標(biāo)。ak+121222k=1ak+12akak+1n11211111111=1 =k+1===kkkk112232+(22)232+0232212(2k)4(2k)k2knak11n1111n11n1\229。k=11k=1+2[(2)+(32)+L(nn1)]=1+2(1+n)=2n12n 2k+k2k+k+1=2(k+1k)Q1kn\229。anan+11131132n1+2n232n1+2n2證明：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，+=[+]=anan+122n2+12n11222n3+2n12n21222n3即當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)m為偶數(shù)且m4時(shí)：11311+(n2+n1)，且a4=2, anan+122211111111131111++L+=+(+)L+(+)+(3+4+L+m3+m2)a4a5ama4a5a6am1am222222=13111317+(1m4)+= 22422482當(dāng)m為奇數(shù)且m4時(shí)：Qm+1為偶數(shù)，11111117++L+++L++ a4a5ama4a5amam+18綜上可知，對(duì)于任意整數(shù)m4，都有1117++L+ a4a5am8+11111n+++L+n+n1+(n179。 1+a11+a21+an2分析：根據(jù)欲證不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，通過(guò)遞推關(guān)系式構(gòu)造關(guān)于1+ak的不等式Qak179。3時(shí)，an=左邊163。nan1111111，\179。N*都有:xm+kxk.k1234分析：利用遞推式構(gòu)造關(guān)于xk+1xk的不等式，利用“絕對(duì)值不等式”把xm+kxk放縮為和數(shù)列的形式由x1=0得x2=114, x3=，當(dāng)k179。18232。14上面介紹的數(shù)列不等式主要與“求和”的形式有關(guān)。的一次函數(shù)或常值函數(shù)）② 等比數(shù)列求和公式：錯(cuò)誤！未找到引用源。常數(shù)”的形式，所構(gòu)造的等比數(shù)列的公比也要滿(mǎn)足錯(cuò)誤！未找到引用源?；蝈e(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。若錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。）．！未找到引用源。時(shí)，①求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。若錯(cuò)誤！未找到引用源。（4）錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。中，錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)的和為錯(cuò)誤！未找到引用源。滿(mǎn)足錯(cuò)誤！未找到引用源。有錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。．（3）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。.（1）求證：數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。求證： 錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。個(gè)正數(shù)，共同組成公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。如果題目條件無(wú)法體現(xiàn)出放縮的目標(biāo)，則可從所證不等式的常數(shù)入手，常數(shù)可視為錯(cuò)誤！未找到引用源。（累乘時(shí)要求不等式兩側(cè)均為正數(shù)），然后通過(guò)“累加”或“累乘”達(dá)到一側(cè)為錯(cuò)誤！未找到引用源。）．（1）求錯(cuò)誤！未找到引用源。若不等式錯(cuò)誤！未找到引用源。若數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。代入錯(cuò)誤！未找到引用源。；若錯(cuò)誤！未找到引用源。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；錯(cuò)誤！未找到引用源。因此由錯(cuò)誤！未找到引用源。即錯(cuò)誤！未找到引用源。.類(lèi)型二、與通項(xiàng)運(yùn)算相關(guān)的不等式 ！未找到引用源。（錯(cuò)誤！未找到引用源。有錯(cuò)誤！未找到引用源。滿(mǎn)足的條件，否則，請(qǐng)說(shuō)明理由.（2）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。；②不存在；（2）①當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。．方法、規(guī)律歸納: 常見(jiàn)的放縮變形：（1）錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)錯(cuò)誤！未找到引用源。都成立，（3）詳見(jiàn)解析（3）假設(shè)存在正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。就可以； 對(duì)于②，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。且當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。若當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。的最大值.【答案】⑴見(jiàn)解析⑵錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)恒成立，即使錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，涉及等差數(shù)列的判定與證明，其中證明（1）的關(guān)鍵是分析得到錯(cuò)誤！未找到引用源。數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的最小值；（3）若數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。． 【解析】試題分析：（1）根據(jù)題設(shè)條件用累乘法能夠求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．b1=2，bn+1=2bn可知{bn}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出{bn}的通項(xiàng)公式．（2）bn=2n．假設(shè)存在自然數(shù)m，滿(mǎn)足條件，先求出錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。.因此錯(cuò)誤！未找到引用源。使得錯(cuò)誤！未找到引用源。兩式相減得錯(cuò)誤！未找到引用源。綜上，錯(cuò)誤！未找到引用源。并說(shuō)明理由；（2）求證： 錯(cuò)誤！未找到引用源。使得錯(cuò)誤！未找到引用源。又錯(cuò)誤！未找到引用源。.點(diǎn)睛：本題是一道新定義的遷移信息并利用信息的信息遷移題?？傻缅e(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值集合；（3）記錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。所以錯(cuò)誤！未找到引用源。.（3）設(shè)等差數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。.以下證明： 錯(cuò)誤！未找到引用源。當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。間插入錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）錯(cuò)誤！未找到引用源。2nn+1+3(n=1,2,3,L)n（Ⅰ）求首項(xiàng)a1與通項(xiàng)an；（Ⅱ）設(shè)Tn=an=42nn2Sn(n=1,2,3,L)，證明：229。nn+1247。1n+1247。1233。n+kn1k!163。N恒有an+1an成立。ai(ai1)=1方法一：ai(ai1)=ni2121iii(21)(22)=ii1i1(21)(21)=i11121i.\229。(x)0，即y=f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)x0時(shí)，f39。1=2，公差為1，是等差數(shù)列，首項(xiàng)為253。23n+1n+1232。n+1n+1248。247。ln180。2246。232。N)nn1n01法1：2=Cn+Cn+...+Cn+Cn；法2：數(shù)學(xué)歸納法 法3：函數(shù)法（求導(dǎo)），證明：()+()+…+（nn*nnn1n)+（nnn)nee1提示:借助e179。254。an=_____sn=______(n206。3+...+n(n+1)p例１.（１９８５全國(guó)卷）求證：(n206。238。N*)例2(2013廣東文19第(3)問(wèn))求證：11180。N*)+12+13+......+1n2n(n206。5+15180。n+{an}的通項(xiàng)公式 2）證明：1a+113a+.......+12an2變式：求證：121+121+1152231+......+2n13(n206。2+2qn,sn=３．錯(cuò)位相減法：等差等比４．裂項(xiàng)相消法：若anan1=d(d為常數(shù)）：１．放縮目標(biāo)模型：可求和 １．１等差模型1111=()(n206。c1+c2+c3+L+ 162n(n+1)an+1an{an}的前n項(xiàng)的和為sn滿(mǎn)足：sn1,6sn=(an+1)(an+2)；（1）求an；（2）設(shè)數(shù)列{bn}滿(mǎn)足an(2n1)=1,并記Tn=b1+b2+b3+L+bn，b求證：3Tn+1log2n(a+3)（函數(shù)的單調(diào)性，貝努力不等式，構(gòu)造，數(shù)學(xué)歸納法）{an}滿(mǎn)足：a1=1,nan+1(n+1)an=+1，anan+1記b1=a1,bn=n[a1+（1）求an；（2）證明：(1+2111++L+](n179。N)=的最小值為，最大值為，且abnnn2x+1（1）求；（2）證明：：161+{an}的前n項(xiàng)的和為sn，且an+2（1）求證：數(shù)列sn是等差數(shù)列； 11117+++L+ 444c14c2c34+L+17 1=2sn，n206。1232。ln(n+2)ln2 n+1248。230。234nn+1232。1∴n231。又∵x0時(shí)，有xln(1+x)，令x=1n+1230。an1254。(0)=0，即x=0是極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)f(x)=ln(1+x)x163。22ii1.(i179。N，有an+1=anan1La2a1+1成立。3)(k179。2,k206。2121248。2121248。180。與錯(cuò)誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，若不等式錯(cuò)誤！未找到引用源。．（1）若錯(cuò)誤！未找到引用源。.9．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}，{}滿(mǎn)足(n＋1)bn＝an＋1錯(cuò)誤！未找到引用源。為減函數(shù)，錯(cuò)誤！未找到引用源。為正整數(shù)，且錯(cuò)誤！未找到引用源。則錯(cuò)誤！未找到引用源。滿(mǎn)足條件，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。是等差數(shù)列.（2）因?yàn)榈娜我獾腻e(cuò)誤！未找到引用源。.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）錯(cuò)誤！未找到引用源。是等差數(shù)列；（2）若 錯(cuò)誤！未找到引用源。經(jīng)檢驗(yàn)錯(cuò)誤！未找到引用源。同理可得錯(cuò)誤！未找到引用源。所以錯(cuò)誤！未找到引用源。所以錯(cuò)誤！未找到引用源。求錯(cuò)誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，求證： 錯(cuò)誤！未找到引用源。5．【江蘇省啟東中學(xué)2018屆高三上學(xué)期第一次月考】設(shè)數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。.當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源?？汕蟮缅e(cuò)誤！未找到引用源。求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。．（1）求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的關(guān)系式．3．【江蘇省徐州市2018屆高三上學(xué)期期中考試】已知數(shù)列滿(mǎn)足，且． 的前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足，．?dāng)?shù)列（1）求數(shù)列（2）若和的通項(xiàng)公式；，數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的，（，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）是否存在正整數(shù)，使，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2））成等差數(shù)列，若存在，求出所有滿(mǎn)足條件的，若不存在，（3）不存在（2）由（1）得于是所以，兩式相減得所以由（1）得因?yàn)閷?duì) 即所以恒成立，都有，恒成立，