【正文】 +)+L+(n+Ln+n)***22211111n+++L+(共n個)=1+ 222222四．利用遞推關系式放縮利用遞推關系式產生的不等關系，在很多題目中可以起到很好的放縮效果。bk2n+[(1+2)+(2+3)+L+(n+n+1)]=2n+(+n+1)2n333333333k=1\bn2(1)=2,f(n+1)=f(n)+f(n),求證：229。k12nna2232323322222k=1k+1k=1“裂項法求和”在例1中，不等式的左邊無法求和，但通過放縮產生裂項相消的求和效果后，使問題解決。kSn229。3(n1)180。那怎么辦呢？1．調整放縮的“量”的大小分析2：分析1中“放”的有點過大，因為11，放大了1111，K所以可以2221180。：挖掘不等式的結構特征和函數(shù)內涵來構造單調數(shù)列或單調函數(shù)，利用單調性、值域產生的不等關系進行放縮。證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構造性強，需要有較高的放縮技巧從而充滿思考性和挑戰(zhàn)性。22180。22nn12n1n+***17)]=1+(1+)]2．調整放縮的“項”的起點分析3：分析1中從第二項開始放縮，放的最終有點大。三、常見的問題類型數(shù)列型不等式的一邊常與求和有關，所以可以通過放縮后求和(或求和后放縮)來達到欲證的目標。ak+121222k=1ak+12akak+1n11211111111=1 =k+1===kkkk112232+(22)232+0232212(2k)4(2k)k2knak11n1111n11n1\229。k=11k=1+2[(2)+(32)+L(nn1)]=1+2(1+n)=2n12n 2k+k2k+k+1=2(k+1k)Q1kn\229。anan+11131132n1+2n232n1+2n2證明：當n為奇數(shù)時，+=[+]=anan+122n2+12n11222n3+2n12n21222n3即當n為奇數(shù)時，當m為偶數(shù)且m4時：11311+(n2+n1)，且a4=2, anan+122211111111131111++L+=+(+)L+(+)+(3+4+L+m3+m2)a4a5ama4a5a6am1am222222=13111317+(1m4)+= 22422482當m為奇數(shù)且m4時：Qm+1為偶數(shù)，11111117++L+++L++ a4a5ama4a5amam+18綜上可知，對于任意整數(shù)m4，都有1117++L+ a4a5am8+11111n+++L+n+n1+(n179。 1+a11+a21+an2分析：根據(jù)欲證不等式的結構特點，通過遞推關系式構造關于1+ak的不等式Qak179。3時，an=左邊163。nan1111111，\179。N*都有:xm+kxk.k1234分析：利用遞推式構造關于xk+1xk的不等式，利用“絕對值不等式”把xm+kxk放縮為和數(shù)列的形式由x1=0得x2=114, x3=，當k179。18232。14上面介紹的數(shù)列不等式主要與“求和”的形式有關。的一次函數(shù)或常值函數(shù)）② 等比數(shù)列求和公式：錯誤！未找到引用源。常數(shù)”的形式，所構造的等比數(shù)列的公比也要滿足錯誤！未找到引用源。或錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。若錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。數(shù)列錯誤！未找到引用源。）．！未找到引用源。時，①求數(shù)列錯誤！未找到引用源。若錯誤！未找到引用源。（4）錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。中，錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項的和為錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。有錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。．（3）當錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。.（1）求證：數(shù)列錯誤！未找到引用源。求證： 錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。個正數(shù)，共同組成公比為錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。如果題目條件無法體現(xiàn)出放縮的目標，則可從所證不等式的常數(shù)入手，常數(shù)可視為錯誤！未找到引用源。（累乘時要求不等式兩側均為正數(shù)），然后通過“累加”或“累乘”達到一側為錯誤！未找到引用源。）．（1）求錯誤！未找到引用源。若不等式錯誤！未找到引用源。若數(shù)列錯誤！未找到引用源。代入錯誤！未找到引用源。；若錯誤！未找到引用源。（1）求數(shù)列的通項公式；錯誤！未找到引用源。因此由錯誤！未找到引用源。即錯誤！未找到引用源。.類型二、與通項運算相關的不等式 ！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。有錯誤！未找到引用源。滿足的條件，否則，請說明理由.（2）當錯誤！未找到引用源。；②不存在；（2）①當錯誤！未找到引用源。．方法、規(guī)律歸納: 常見的放縮變形：（1）錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，并求其通項錯誤！未找到引用源。都成立，（3）詳見解析（3）假設存在正整數(shù)錯誤！未找到引用源。就可以； 對于②，當錯誤！未找到引用源。且當錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。若當錯誤！未找到引用源。的最大值.【答案】⑴見解析⑵錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)恒成立，即使錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。．【點睛】本題考查數(shù)列與不等式的綜合應用，涉及等差數(shù)列的判定與證明，其中證明（1）的關鍵是分析得到錯誤！未找到引用源。數(shù)列錯誤！未找到引用源。的最小值；（3）若數(shù)列錯誤！未找到引用源。． 【解析】試題分析：（1）根據(jù)題設條件用累乘法能夠求出數(shù)列{an}的通項公式．b1=2，bn+1=2bn可知{bn}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出{bn}的通項公式．（2）bn=2n．假設存在自然數(shù)m，滿足條件，先求出錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。.因此錯誤！未找到引用源。使得錯誤！未找到引用源。兩式相減得錯誤！未找到引用源。綜上，錯誤！未找到引用源。并說明理由；（2）求證： 錯誤！未找到引用源。使得錯誤！未找到引用源。又錯誤！未找到引用源。.點睛：本題是一道新定義的遷移信息并利用信息的信息遷移題?？傻缅e誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。的取值集合；（3）記錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。.（3）設等差數(shù)列錯誤！未找到引用源。.以下證明： 錯誤！未找到引用源。當錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。間插入錯誤！未找到引用源。（3）錯誤！未找到引用源。2nn+1+3(n=1,2,3,L)n（Ⅰ）求首項a1與通項an；（Ⅱ）設Tn=an=42nn2Sn(n=1,2,3,L)，證明：229。nn+1247。1n+1247。1233。n+kn1k!163。N恒有an+1an成立。ai(ai1)=1方法一：ai(ai1)=ni2121iii(21)(22)=ii1i1(21)(21)=i11121i.\229。(x)0，即y=f(x)是單調遞增函數(shù)；當x0時，f39。1=2，公差為1，是等差數(shù)列，首項為253。23n+1n+1232。n+1n+1248。247。ln180。2246。232。N)nn1n01法1：2=Cn+Cn+...+Cn+Cn；法2：數(shù)學歸納法 法3：函數(shù)法（求導），證明：()+()+…+（nn*nnn1n)+（nnn)nee1提示:借助e179。254。an=_____sn=______(n206。3+...+n(n+1)p例１.（１９８５全國卷）求證：(n206。238。N*)例2(2013廣東文19第(3)問)求證：11180。N*)+12+13+......+1n2n(n206。5+15180。n+{an}的通項公式 2）證明：1a+113a+.......+12an2變式：求證：121+121+1152231+......+2n13(n206。2+2qn,sn=３．錯位相減法：等差等比４．裂項相消法：若anan1=d(d為常數(shù)）：１．放縮目標模型：可求和 １．１等差模型1111=()(n206。c1+c2+c3+L+ 162n(n+1)an+1an{an}的前n項的和為sn滿足：sn1,6sn=(an+1)(an+2)；（1）求an；（2）設數(shù)列{bn}滿足an(2n1)=1,并記Tn=b1+b2+b3+L+bn，b求證：3Tn+1log2n(a+3)（函數(shù)的單調性，貝努力不等式，構造，數(shù)學歸納法）{an}滿足：a1=1,nan+1(n+1)an=+1，anan+1記b1=a1,bn=n[a1+（1）求an；（2）證明：(1+2111++L+](n179。N)=的最小值為，最大值為，且abnnn2x+1（1）求；（2）證明：：161+{an}的前n項的和為sn，且an+2（1）求證：數(shù)列sn是等差數(shù)列； 11117+++L+ 444c14c2c34+L+17 1=2sn，n206。1232。ln(n+2)ln2 n+1248。230。234nn+1232。1∴n231。又∵x0時，有xln(1+x)，令x=1n+1230。an1254。(0)=0，即x=0是極大值點，也是最大值點f(x)=ln(1+x)x163。22ii1.(i179。N，有an+1=anan1La2a1+1成立。3)(k179。2,k206。2121248。2121248。180。與錯誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，若不等式錯誤！未找到引用源。．（1）若錯誤！未找到引用源。.9．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{bn}，{}滿足(n＋1)bn＝an＋1錯誤！未找到引用源。為減函數(shù)，錯誤！未找到引用源。為正整數(shù)，且錯誤！未找到引用源。則錯誤！未找到引用源。滿足條件，當錯誤！未找到引用源。是等差數(shù)列.（2）因為的任意的錯誤！未找到引用源。.【答案】（1）見解析（2）錯誤！未找到引用源。是等差數(shù)列；（2）若 錯誤！未找到引用源。經檢驗錯誤！未找到引用源。同理可得錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。求錯誤！未找到引用源。具有性質錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。時，求證： 錯誤！未找到引用源。5．【江蘇省啟東中學2018屆高三上學期第一次月考】設數(shù)列錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。.當錯誤！未找到引用源?？汕蟮缅e誤！未找到引用源。求數(shù)列錯誤！未找到引用源。．（1）求數(shù)列錯誤！未找到引用源。的關系式．3．【江蘇省徐州市2018屆高三上學期期中考試】已知數(shù)列滿足，且． 的前項和為，滿足，．數(shù)列（1）求數(shù)列（2）若和的通項公式；，數(shù)列的前項和為，對任意的，（，都有，求實數(shù)的取值范圍；（3）是否存在正整數(shù)，使，請說明理由．【答案】（1）（2））成等差數(shù)列，若存在，求出所有滿足條件的，若不存在，（3）不存在（2）由（1）得于是所以，兩式相減得所以由（1）得因為對 即所以恒成立，都有，恒成立，