【正文】 3+13180。N*)22n(n+1)n(n+3)p1（1）求an；（2++L2 {an}中，已知a1=2,an+1an=2anan+1；（1）求an；（2）證明：a1(a11)+a2(a21)+a3(a31)+L+an(an1)32n+{an}滿足：a1=2,an+1=； n(n+)an+225112n（1）設(shè)bn=，求bn；（2）記=，求證：163。2230。232。n+1232。a11238。i=1ai(ai1)(21)+（121121)+（121121)+L+（12n11121n)=3121n：ai(ai1)=ii(21)=i122+i122i122+i163。+1n+2+...+kn+11(k179。2232。Tii=1解：易求Sn=Tn=（其中n為正整數(shù)）nn432nan=n13180。個(gè)正數(shù)，共同組成公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。即錯(cuò)誤！未找到引用源。其中錯(cuò)誤！未找到引用源。顯然，錯(cuò)誤！未找到引用源。求證： 錯(cuò)誤！未找到引用源。因此構(gòu)成數(shù)集錯(cuò)誤！未找到引用源。所以錯(cuò)誤！未找到引用源。；（2）若錯(cuò)誤！未找到引用源。即錯(cuò)誤！未找到引用源。．點(diǎn)睛：數(shù)列求和時(shí)，要根據(jù)數(shù)列項(xiàng)的特點(diǎn)選擇不同的方法，常用的求和方法有公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、分組求和等。錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。⑶錯(cuò)誤！未找到引用源。其中錯(cuò)誤！未找到引用源。為奇數(shù)時(shí)，滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。；（2）求錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。）． 【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析．故錯(cuò)誤！未找到引用源。.所以數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。得錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)任意的錯(cuò)誤！未找到引用源。另一側(cè)為求和的結(jié)果，進(jìn)而完成證明 應(yīng)用舉例:類型一：與前n項(xiàng)和相關(guān)的不等式 例1.【2017屆江蘇泰州中學(xué)高三摸底考試】已知數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。（關(guān)于錯(cuò)誤！未找到引用源。．（1）若錯(cuò)誤！未找到引用源。是等差數(shù)列；（2）若 錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，求證：當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立？若存在,求出錯(cuò)誤！未找到引用源。試求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)；②是否存在這樣的正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足：錯(cuò)誤！未找到引用源。定義錯(cuò)誤！未找到引用源。）．（1）求錯(cuò)誤！未找到引用源。如果題目條件無(wú)法體現(xiàn)出放縮的目標(biāo)，則可從所證不等式的常數(shù)入手，常數(shù)可視為錯(cuò)誤！未找到引用源。如果不等式的一邊與求和沒(méi)有直接的關(guān)系，也可以辨析題目的結(jié)構(gòu)特征選擇合適的方法進(jìn)行處理，譬如“構(gòu)造單調(diào)數(shù)列”放縮；構(gòu)造“二項(xiàng)展開(kāi)式”放縮；對(duì)不等式的局部換元，然后再謀求放縮等。2時(shí),Q0xk163。anan1a11L3a2179。2,n206。229。可以調(diào)整放縮的項(xiàng)數(shù)，從第三項(xiàng)開(kāi)始放縮。為了幫助更多的學(xué)生突破這一難點(diǎn)，我們從以下幾個(gè)方面對(duì)放縮法證明數(shù)列不等式的基本策略進(jìn)行分析。n若采取“很明顯，放得有點(diǎn)大了，導(dǎo)致傳遞性失敗，不等式鏈中斷，放縮失敗。n(n+1)(n+1)2sn例2．設(shè)SnL 22分析：此數(shù)列通項(xiàng)為ak=因?yàn)閗knk(k+1),k=1,2,+(k+1)1，\kk(k+1)k+ 22k(k+1)nn(n+1)(n+1)21sn\229。bk2n31+an1an+13k=1分析：bn=111+n+13n3n+13n+113n+11+111=n+n+1=n+n+1=2n+n+1 13+1313+1313+1313n+111+3n3n+1n111111111\229。2(ak1+1)且a1+1179。(n179。()k2(1m)1=8(1)k1230。（關(guān)于錯(cuò)誤！未找到引用源。另一側(cè)為求和的結(jié)果，進(jìn)而完成證明 應(yīng)用舉例:類型一：與前n項(xiàng)和相關(guān)的不等式 例1.【2017屆江蘇泰州中學(xué)高三摸底考試】已知數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)任意的錯(cuò)誤！未找到引用源。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求錯(cuò)誤！未找到引用源。（1）求證：數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。若當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。且滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。并說(shuō)明理由；（2）求證： 錯(cuò)誤！未找到引用源。(n＋2)＝錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)任意的錯(cuò)誤！未找到引用源。例如常數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。若數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。而錯(cuò)誤！未找到引用源。.例如：錯(cuò)誤！未找到引用源。中最大項(xiàng)必在A中，由（2）得錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足：錯(cuò)誤！未找到引用源。為實(shí)數(shù)，且錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。成立，因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。所以當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。為正偶數(shù)恒成立，錯(cuò)誤！未找到引用源。當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。．（1）求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源?？汕蟮缅e(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，求證： 錯(cuò)誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用源。所以錯(cuò)誤！未找到引用源。同理可得錯(cuò)誤！未找到引用源。是等差數(shù)列；（2）若 錯(cuò)誤！未找到引用源。是等差數(shù)列.（2）因?yàn)榈娜我獾腻e(cuò)誤！未找到引用源。則錯(cuò)誤！未找到引用源。為減函數(shù)，錯(cuò)誤！未找到引用源。．（1）若錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。2121248。2,k206。N，有an+1=anan1La2a1+1成立。(0)=0，即x=0是極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)f(x)=ln(1+x)x163。又∵x0時(shí)，有xln(1+x)，令x=1n+1230。234nn+1232。ln(n+2)ln2 n+1248。N)=的最小值為，最大值為，且abnnn2x+1（1）求；（2）證明：：161+{an}的前n項(xiàng)的和為sn，且an+2（1）求證：數(shù)列sn是等差數(shù)列； 11117+++L+ 444c14c2c34+L+17 1=2sn，n206。qn,sn=３．錯(cuò)位相減法：等差等比４．裂項(xiàng)相消法：若anan1=d(d為常數(shù)）：１．放縮目標(biāo)模型：可求和 １．１等差模型1111=()(n206。n+{an}的通項(xiàng)公式 2）證明：1a+113a+.......+12an2變式：求證：121+121+1152231+......+2n13(n206。N*)+12+13+......+1n2n(n206。238。an=_____sn=______(n206。N)nn1n01法1：2=Cn+Cn+...+Cn+Cn；法2：數(shù)學(xué)歸納法 法3：函數(shù)法（求導(dǎo)），證明：()+()+…+（nn*nnn1n)+（nnn)nee1提示:借助e179。2246。247。23n+1n+1232。(x)0，即y=f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)x0時(shí)，f39。N恒有an+1an成立。1233。nn+1247。（3）錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。.（3）設(shè)等差數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。.點(diǎn)睛：本題是一道新定義的遷移信息并利用信息的信息遷移題。使得錯(cuò)誤！未找到引用源。綜上，錯(cuò)誤！未找到引用源。使得錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。． 【解析】試題分析：（1）根據(jù)題設(shè)條件用累乘法能夠求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．b1=2，bn+1=2bn可知{bn}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出{bn}的通項(xiàng)公式．（2）bn=2n．假設(shè)存在自然數(shù)m，滿足條件，先求出錯(cuò)誤！未找到引用源。數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)恒成立，即使錯(cuò)誤！未找到引用源。若當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。且當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。都成立，（3）詳見(jiàn)解析（3）假設(shè)存在正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。；②不存在；（2）①當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。有錯(cuò)誤！未找到引用源。.類型二、與通項(xiàng)運(yùn)算相關(guān)的不等式 ！未找到引用源。因此由錯(cuò)誤！未找到引用源。；若錯(cuò)誤！未找到引用源。若數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。）．（1）求錯(cuò)誤！未找到引用源。如果題目條件無(wú)法體現(xiàn)出放縮的目標(biāo)，則可從所證不等式的常數(shù)入手，常數(shù)可視為錯(cuò)誤！未找到引用源。個(gè)正數(shù)，共同組成公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。求證： 錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。若錯(cuò)誤！未找到引用源。）．！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源?；蝈e(cuò)誤！未找到引用源。的一次函數(shù)或常值函數(shù)）② 等比數(shù)列求和公式：錯(cuò)誤！未找到引用源。18232。nan1111111，\179。 1+a11+a21+an2分析：根據(jù)欲證不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，通過(guò)遞推關(guān)系式構(gòu)造關(guān)于1+ak的不等式Qak179。k=11k=1+2[(2)+(32)+L(nn1)]=1+2(1+n)=2n12n 2k+k2k+k+1=2(k+1k)Q1kn\229。三、常見(jiàn)的問(wèn)題類型數(shù)列型不等式的一邊常與求和有關(guān)，所以可以通過(guò)放縮后求和(或求和后放縮)來(lái)達(dá)到欲證的目標(biāo)。22180。：挖掘不等式的結(jié)構(gòu)特征和函數(shù)內(nèi)涵來(lái)構(gòu)造單調(diào)數(shù)列或單調(diào)函數(shù)，利用單調(diào)性、值域產(chǎn)生的不等關(guān)系進(jìn)行放縮。3(n1)180。k12nna2232323322222k=1k+1k=1“裂項(xiàng)法求和”在例1中，不等式的左邊無(wú)法求和，但通過(guò)放縮產(chǎn)生裂項(xiàng)相消的求和效果后，使問(wèn)題解決。左邊=1+11111111111111+(+)+(+++)+(++L+)+L+(n1+Ln+n)***+12121+=1+11111111111111+(+)+(+++)+(++L+)+L+(n+Ln+n)***22211111n+++L+(共n個(gè))=1+ 222222四．利用遞推關(guān)系式放縮利用遞推關(guān)系式產(chǎn)生的不等關(guān)系，在很多題目中可以起到很好的放縮效果。3()n2an2an1an2a21111212[1++()2+L+()n1]=(1n) 3222332五．構(gòu)造和數(shù)列后進(jìn)行放縮如果數(shù)列不等式?jīng)]有直接的求和的形式，很多時(shí)候可以間接的構(gòu)造和數(shù)列，然后進(jìn)行放縮處理。N,xm+kxk=(xm+kxm+k1)+(xm+k1xm+k2)+L+(xk+1xk)163?？傊?，運(yùn)用放縮法進(jìn)行數(shù)列不等式的證明，要認(rèn)真分析條件和結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征，明確方向，防止盲目放縮。例如常數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。若數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。定義錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。成等比數(shù)列？若存在，給出錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。其中錯(cuò)誤！未找到引用源。⑶錯(cuò)誤！未找到引用源。滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。．6．【江蘇省泰州中學(xué)2018屆高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試】已知兩個(gè)無(wú)窮數(shù)列分別滿足，其中（1）若數(shù)列（2）若數(shù)列①若數(shù)列②若數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和分別為的通項(xiàng)公式；，使得，稱數(shù)列.都為遞增數(shù)列，求數(shù)列滿足：存在唯一的正整數(shù)“