導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式的綜合證明問(wèn)題(完整版)
【正文】 239。(x)0，故g(x)在[1,+165。111249。22180。2180。(2)證明:1+12+13+L+1nln(n+1)(n206。248。230。230。248。N*)(x)=lnxx+1?(1)求f(x)的最大值。e232。232。1246。(2)如果函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。(2)若f(x)179。N,試比較與的ln2ln3ln4ln5lnnn(n+1)*大小并證明你的結(jié)論?1+ln(x+1)(x0)x(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+165。(2)若a0,求f(x)的單調(diào)區(qū)間。N*) 34n+1n(1)若函數(shù)f(x)在其定義域上為增函數(shù),求a的取值范圍?！?0，)，求證:sinx第四篇：數(shù)列與不等式證明專題數(shù)列與不等式證明專題復(fù)習(xí)建議：1．“巧用性質(zhì)、減少運(yùn)算量”在等差、等比數(shù)列的計(jì)算中非常重要，但用“基本量法”并樹(shù)立“目標(biāo)意識(shí)”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地運(yùn)用條件，又要時(shí)刻注意題的目標(biāo)，往往能取得與“巧用性質(zhì)”解題相同的效果2．歸納——猜想——證明體現(xiàn)由具體到抽象，由特殊到一般，由有限到無(wú)限的辯證思想．學(xué)習(xí)這部分知識(shí)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，計(jì)算能力，熟悉歸納、演繹的論證方法，提高分析、綜合、抽象、概括等思維能力，都有重大意義．3．解答數(shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題要善于綜合運(yùn)用函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想以及特例分析法，一般遞推法，數(shù)列求和及求通項(xiàng)等方法來(lái)分析、解決問(wèn)題．4．?dāng)?shù)列與解析幾何的綜合問(wèn)題解決的策略往往是把綜合問(wèn)題分解成幾部分，先利用解析幾何的知識(shí)以及數(shù)形結(jié)合得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后再利用數(shù)列知識(shí)和方法求解． 證明方法：（1）先放縮后求和；（2）先求和后放縮(3)靈活運(yùn)用 例1．?dāng)?shù)列{a2npn}滿足a1=1,a2=2,an+2=(1+cos2)asin2npn+2,n=1,2,3,L.(Ⅰ)求a3,a4,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)設(shè)ba2n1n=a,Sn=b1+b2+L+：當(dāng)n179。n238。6)，則c(n+1)(n+3)n(n+2)3n2n+1=2n+122=2n+1179。2,n206。a31∴121a2∴11n1+a+1+L+12+111+a21+an點(diǎn)評(píng)：把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成清晰的問(wèn)題是數(shù)學(xué)中的重要思想，本題中的第（3）問(wèn)不等式的證明更具有一般性。N*.（1）當(dāng)n=1時(shí),由已知得結(jié)論成立。2時(shí)，b531n=4an=22a(5a3131n1)=bn1bn1=2bn1，n1422an1225所以bn2bn122bn2L2n1b31=2n，13n(12n)所以Sn=b1+b2+L+bn4+12++230。N)．（1）求a2,a3,a4；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an；（3）設(shè)數(shù)列{b1n}滿足b1=2,b12n+1=abn+bn，求證：bn1(n163。設(shè)數(shù)列{a1n}的各項(xiàng)為正且滿足a1=b(b0),anann163。1+1+L+1\1179。這里需要對(duì)m進(jìn)行分類討論，（1）當(dāng)m為偶數(shù)(m4)時(shí)，1a+1+L+1a=1+(1+1)+L+(1+1)1+3(1113+4+L+m2)4a5ma4a5a6am1am22222=13112+2180。（3）1112a+12006a+L+11。n231。232。2248。239。2x＋y＋k≤0k＝________.(k為常數(shù))，若z＝x＋3y的最大值為8，則三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟． 17．(10分)(2011254。252。2－1(x≥0)238。2248。(n∈N*)，bn＝log2an，則數(shù)列{bn}7．已知a，b∈R，且ab，則下列不等式中恒成立的是()230。n247。（2）由a2n+1=anan+1得：an+11=an(an1)\an1=an1(an11)??a21=a1(a11)以上各式兩邊分別相乘得：an+11=anan1La2a1(a11)，又a1=2\an+1=anan1La2a1+1（3）要證不等式111122006a++L+11，可先設(shè)法求和：1+1+L+，1a2a2006a1a2a2006再進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s。本題的關(guān)鍵是并項(xiàng)后進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s。3)na1nn12anbnn12b2=2+b[log2n]2b\ a2bn2+b[logn](n179。nan+a得：n1a179。2)nna12an112n所以a*n=n(n206。1246。2(n+1)bn,所以bn0,n+1b179。N)（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列{b1n}滿足4b114b24b31L4bn1=(an+1)bn，證明：{bn}是等差數(shù)列；（Ⅲ）證明：1+1a+L+12(n206。解：⑴tan2a=pp2tana2(1)2又∵a為銳角 ∴2a= ∴sin(2a+)=1∴f(x)=x+x==1441tan2a1(21)2∴a2,a3,Lan都大于0∴an0∴an+1an2∴則S1111121212111+(++L+)=+(S)S= a22a2a3ana2an+13an+13a22an+1⑵an+1=an+an∵a1=點(diǎn)評(píng)：數(shù)列中的不等式要用放縮來(lái)解決難度就較大了，而且不容易把握，對(duì)于這樣的題要多探索，多角度的思考問(wèn)題。8n+1179。N*).(Ⅱ)由(Ⅰ)知，ba2n1n=a=n12+3n2,Sn=+23+L+n,①2n2222212S12+23nn=222+24+L+2n+1② 1①②得，1[1(1)2]2S1111nn=2+22+23+L+2n2n+1=n1n12n+1=12n2n++2n=22n12n=22179。解:(Ⅰ)因?yàn)閍cos2p1=1,a2=2,所以a3=(1+2)a1+sin2p
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