【正文】 的每一項(xiàng)裂項(xiàng)之后正負(fù)能夠相消，進(jìn)而在求和后式子中僅剩有限項(xiàng)（2）與求和相關(guān)的不等式的放縮技巧：① 在數(shù)列中，“求和看通項(xiàng)”，所以在放縮的過程中通常從數(shù)列的通項(xiàng)公式入手② 在放縮時要看好所證不等式中不等號的方向，這將決定對通項(xiàng)公式是放大還是縮?。☉?yīng)與所證的不等號同方向）③ 在放縮時，對通項(xiàng)公式的變形要向可求和數(shù)列的通項(xiàng)公式靠攏，常見的是向等比數(shù)列與可裂項(xiàng)相消的數(shù)列進(jìn)行靠攏。即可猜想該等比數(shù)列的首項(xiàng)為錯誤！未找到引用源。項(xiàng)和錯誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，求錯誤！未找到引用源。的取值范圍．【答案】（1）錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。.對數(shù)列錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。（2）對任意正整數(shù)，若，求證：；錯誤！未找到引用源。.試題解析：（1）由已知得錯誤！未找到引用源。.（2）因?yàn)殄e誤！未找到引用源。．（1）求證:錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。.（1）當(dāng)錯誤！未找到引用源。是否為等比數(shù)列；②設(shè)錯誤！未找到引用源。是以錯誤！未找到引用源。還可放縮為：錯誤！未找到引用源。記數(shù)列錯誤！未找到引用源。使得錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)時，滿足錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)時，②式成立，即當(dāng)錯誤！未找到引用源。為等差數(shù)列；⑵ 設(shè)錯誤！未找到引用源。恒成立，求實(shí)數(shù)錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。的取值范圍；（3）分n是奇數(shù)、n是偶數(shù)兩種情況求出Tn，然后寫成分段函數(shù)的形式。時，上式成立，因?yàn)殄e誤！未找到引用源。； 當(dāng)錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。．（3）當(dāng)錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。的最小值.【答案】（1）不具有（2）見解析（3）錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。構(gòu)成數(shù)集錯誤！未找到引用源。再將上述不等式相加得： 錯誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯誤！未找到引用源。對任意錯誤！未找到引用源。（3）見解析解：（1）設(shè)等差數(shù)列錯誤！未找到引用源。都是公差為錯誤！未找到引用源。時，因?yàn)殄e誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。因?yàn)殄e誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。(n＋2)＝錯誤！未找到引用源。成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。間插入錯誤！未找到引用源。2n+1+=(4n23n)180。所以：229。2求證：（1）11+法1：數(shù)歸（兩邊都可以）法2：放縮裂項(xiàng) 法3：定積分放縮（2）22L+n206。N)234。2)；212n+1nk!k(k1)(k2)nan=例3：已知：1(n206。（3）120061a1+1a2+L+1a20061。2)n\229。f(0)=0222。nn+1∴an1=n1222。1232。+3+L+345n+1n+2246。248。343180。1++L+11246。2n+2242。“放縮法”它可以和很多知識內(nèi)容結(jié)合，對應(yīng)變能力有較高的要求。N*).23a2a3an+12若多項(xiàng)式中加上一些正的值，多項(xiàng)式的值變大，多項(xiàng)式中加上一些負(fù)的值，多項(xiàng)式的值變小。n11112,an+1=an,\a2=a12163。(akak+1)=(a1an+1).16k=11632本題通過對因式ak+2放大，而得到一個容易求和的式子逐項(xiàng)放大或縮小229。(m－i+1)，Aimmm1Aimnn1mi+1ni+1=L,同理=L，mmmnnnmini由于m＜n，對于整數(shù)k=1，2，…，i－1，有nkmk，nmAinAim所以ii,即miAinniAimnm(2)由二項(xiàng)式定理有：22nn(1+m)n=1+C1nm+Cnm+…+Cnm，22mm(1+n)m=1+C1mn+Cmn+…+Cmn，由(1)知mAini＞nAimi(1＜i≤m＜n)，而CimAimiAin,Cn== i!i!∴miCin＞niCim(1＜m＜n)00222211∴m0C0n=nCn=1，mCn=nCm=m例1（全國I理22壓軸題）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和Sn=項(xiàng)an；（Ⅱ）設(shè)Tn=2n43an180。：an二、均值不等式放縮證明不等式 例2設(shè)Sn=例3已知函數(shù)f(x)=例3已知a,b為正數(shù)，且a+b1=12+23+L+n(n+1).求證n(n+1)2Sn(n+1).4xx1+4求證：f(1)+f(2)+L+f(n)n+n+1.，試證：對每一個n206。N*x的最大值不大于.16，又當(dāng)x206。2總有xn179。Cn+Cn=n+1,2179。n+2；n(ii)11+a1+11+a2+L+11+an163。 的最大整數(shù)。1.（1）寫出數(shù)列{an}的前三項(xiàng)a1,a2,a3；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（3）證明：對任意的整數(shù)m4，有策略八： 數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式例8（江西理21倒二題）（12分）已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)（1）證明anan+12,n206。n！。（2）求數(shù)列{an}（江西理22壓軸題）已知數(shù)列｛an｝滿足：a1＝1a4+1a5+L+1am.,且滿足:a0=1,an+1=an,(4an),n206。nan1n+an1,n179。1).（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明：an179。(1+n例5設(shè)n1,n206。247。.（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）設(shè)，證明an1n+1x1例4（北京理19）數(shù)列{xn}由下列條件確定：xn+1==a0，1230。2nn2n2n+1.策略三、調(diào)整分式值放縮證明數(shù)列不等式（尾式或局部放縮）一個分式若分母不變分子變大則分式值變大，若分子不變分母變大則分式值變?。灰粋€真分式，分子、分母同時加上同一個正數(shù)則分式值變大（“加糖不等式”）姐妹不等式:bab+ma+m(ba0,m0)和bab+ma+m(ab0,m0)例3（福建理22壓軸題）已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*)（Ⅰ）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列{bn}滿足4b1明:例3證明：(1+1)(1+3)(1+5)L(1+2n1)即證：135L(2n1)例3證明:(1+1)(1+)(1+)L(1+713n2)－1 b2－24?4bn－1=(an+1)bn(n∈N*),證明:{bn}是等差數(shù)列。Tii=1例1（湖北理17）已知二次函數(shù)y=f(x)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為f39。在證明過程中，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行放縮，可以化繁為簡、化難為易，達(dá)到事半功倍的效果。2+2180。L.\當(dāng)k179。N*).2證明：由f(n)= 4n1+4n=1111 1+4n22n2211得f（1）+f（2）+…+f（n）1+11222+L+1122n 11111=n(1+++L+n1)=n+n+1(n206。下面結(jié)合一些高考試題，例談“放縮”的基本策略。247。1++L+231。ln2n) (nl+∴a1+a2+L+ann+ln2ln(n+2) ． 法2：積分法要證原命題，即證：231。n+2=nl=n+247。230。n+2230。230。x，當(dāng)x=0時取到等號．（2）法1：數(shù)學(xué)歸納法（先猜想，再證明）法2：由ln2+lnan+1=an+1an+f(an+1an)得2an+1=an+1an+1，an+1=12an，an+11=12an1=an12an，1an+11=1an11，即數(shù)列237。i=1ai(ai1)3121n3.（即轉(zhuǎn)化為證明加強(qiáng)命題）已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)x，數(shù)列{an}滿足：a1=2,ln2+lnan+1=an+1an+f(an+1an)．（1）求證：ln(1+x)163。（2）由an+1=anan+1得：an+11=an(an1)\an1=an1(an11)……a21=a1(a11)以上各式兩邊分別相乘得：an+11=anan1La2a1(a11)，又a1=2\an+1=anan1La2a1+1（3）要證不等式120061a1+1a2+L+1a20061，可先設(shè)法求和：1a1+1a2+L+a2006，再進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s。aii=1n2法1：均值不等式：即證++715n2+...+212n+1n1+n2也即：++715+...+212nn+1n1而:++715+...+212n+11179。2235。2)Sn=+++L+1n1n(1336++++52)+（15=1653++L+1n11n)＝1+13361214001++1121400=1+23893600(11+24003600.放縮二：1n1n1=(n+1)(n1)=2n1n+1),(n179。1246。1246。的等比數(shù)列，故有錯誤！未找到引用源。的最大值．【答案】（1）錯誤！未找到引用源。成等差數(shù)列，①求數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。綜上，錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。是公比大于錯誤！未找到引用源。所以錯誤！未找到引用源。是公差為錯誤！未找到引用源。則錯誤！未找到引用源。是公差為錯誤！未找到引用源。的最小值為錯誤！未找到引用源。；證明第三問時，充分借助（2）的結(jié)論可知錯誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯誤！未找到引用源。將上述不等式相加得： 錯誤！未找到引用源。具有性質(zhì)錯誤！未找到引用源。成立.（1）分別判斷數(shù)集錯誤！未找到引用源。當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。且滿足錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故錯誤！未找到引用源。即錯誤！未找到引用源。．【答案】（1）錯誤！未找到引用源。使得對于任意錯誤！未找到引用源。數(shù)列錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。的取值范圍是錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)恒成立，只要使錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。數(shù)列錯誤！未找到引用源。．【江蘇省常州市2018屆高三上學(xué)期武進(jìn)區(qū)高中數(shù)學(xué)期中試卷】在數(shù)列錯誤！未找到引用源。令錯誤！未找到引用源。即只要滿足 ①：錯誤！未找到引用源。（2）錯誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯誤！未找到引用源。（4）錯誤！未找到引用源。為公比的等比數(shù)列，當(dāng)錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。的通項(xiàng)；②是否存在這樣的正整數(shù)錯誤！未找到引用源。是數(shù)列錯誤！未找到引用源。；（2）求證:錯誤！