天津市和平區(qū)20xx屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷理科word版含解析(完整版)
【正文】 sin ﹣ 2（ 1﹣ cos ） =2 （ sin cos +cos sin ）﹣ 2 =2 sin（ + ）﹣ 2． …3 分 ∴ f（ x）的最小正周期 T= =6． …5 分 （ 2） ∵ x∈ [ ， ]， ∴ + ∈ [ ， ]， …7 分 ∵ f（ x）在區(qū)間 [ ， ]上是增函數(shù)，在區(qū)間 [ ， ]上是減函數(shù)， …9 分 而 f（ ） = ﹣ 2， f（ ） =2 ， f（ ） =﹣ ， …11 分 ∴ f（ x）的區(qū)間 [ ， ]上的最大值為 2 ﹣ 2，最小值為﹣ ． …13 分 16．在 8 件獲獎(jiǎng)作品中，有 3 件一等獎(jiǎng)，有 5 件二等獎(jiǎng)，從這 8 件作品中任取 3 件． （ 1）求取出的 3 件作品中，一等獎(jiǎng)多于二等獎(jiǎng)的概率； （ 2）設(shè) X 為取出的 3 件作品中一等獎(jiǎng)的件數(shù)，求隨機(jī)變量 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望． 【考點(diǎn)】 離散型隨機(jī)變量的 期望與方差；古典概型及其概率計(jì)算公式；離散型隨機(jī)變量及其分布列． 【分析】 （ 1）設(shè) A為事件 “取出的 3 件產(chǎn)品中，一等獎(jiǎng)多于二等獎(jiǎng) ”，利用互斥事件加法公式能求出取出的 3 件作品中，一等獎(jiǎng)多于二等獎(jiǎng)的概率． （ 2）隨機(jī)變量 X的所有可能取值為 0， 1， 2， 3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望． 【解答】 解：（ 1）設(shè) A為事件 “取出的 3 件產(chǎn)品中，一等獎(jiǎng)多于二等獎(jiǎng) ”， 依題意，則有 P（ A） = = ， ∴ 取出的 3 件作品中，一等獎(jiǎng)多于二等獎(jiǎng)的概率為 ． （ 2）隨機(jī)變量 X 的所有可能取值為 0， 1， 2， 3， P（ X=0） = = ， P（ X=1） = = ， P（ X=2） = = ， P（ X=3） = = ， ∴ 隨機(jī)變量 X 的分布列為： X 0 1 2 3 P ∴ EX= = ． 17．如圖，在三棱柱 ABC﹣ A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面， ∠ BAC=90176。 20212021學(xué)年天津市和平區(qū)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科） 一、選擇題（共 8 小題，每小題 5 分，滿分 40分） 1．已知集合 M={x| ＜ 0}， N={x|x≤ ﹣ 1}，則集合 {x|x≥ 3}等于（ ） A． M∩N B． M∪ N C． ?R（ M∩N） D． ?R（ M∪ N） 2．若變量 x， y 滿足約束條件 ，則 z=3x﹣ 4y 的取值范圍是（ ） A． [﹣ 11， 3] B． [﹣ 11，﹣ 3] C． [﹣ 3， 11] D． [3， 11] 3．閱讀如圖的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出 n 的值為（ ） A． 5 B． 7 C． 9 D． 11 4．已知 a， b∈ R，且 ab≠ 0，那么 “a＞ b”是 “l(fā)g（ a﹣ b） ＞ 0”的（ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 5．如圖，半徑為 2的 ⊙ O中， ∠ AOB=90176。 AB=AA1=2， AC=1，點(diǎn) M 和 N 分別為 A1B1和 BC 的中點(diǎn)． （ 1）求證： AC⊥ BM； （ 2）求證： MN∥ 平面 ACC1A1； （ 3）求二面角 M﹣ BN﹣ A的余弦值． 【考點(diǎn)】 二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定． 【分析】 （ 1）以 A為原點(diǎn)， AC 為 x軸， AB 為 y 軸， AA1為 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明 AC⊥ BM． （ 2）推導(dǎo)出 =0，由 是平面 ACC1A1的一個(gè)法向量，且 MN?平面 ACC1A1，能證明 MN∥ 平面 ACC1A1． （ 3）求出平面 MBN 的法向量和平面 ABN 的法向量，利用向量法能求出二面角 M﹣ BN﹣A的余弦值． 【解答】 證明：（ 1）由題意知 AC、 AB、 AA1兩兩垂直， 如圖，以 A為原點(diǎn)， AC 為 x軸， AB 為 y 軸， AA1為 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 則 A（ 0， 0， 0）， B（ 0， 2， 0）， C（ 1， 0， 0）， M（ 0， 1， 2）， ∵ =（ 1， 0， 0）， =（ 0，﹣ 1， 2）， ∴ =0， ∴ ⊥ ， ∴ AC⊥ BM． （ 2） ∵ M（ 0， 1， 2）， N（ ）， A（ 0， 0， 0）， B（ 0， 2， 0）， ∴ =（ ）， =（ 0， 2， 0）， ∴ =0， ∴ MN⊥ AB， ∵ 是平面 ACC1A1的一個(gè)法向量，且 MN?平面 ACC1A1， ∴ MN∥ 平面 ACC1A1． 解：（ 3）由（ 2）得 =（ ）， =（ 0， 1，﹣ 2）， 設(shè)平面 MBN 的法向量為 =（ x， y， z）， 則 ，取 z=1，得 =（ 4， 2， 1）， 平面 ABN 的法向量 =（ 0， 0， 2）， cos＜ ＞ = = = ， ∵ 二面角 M﹣ BN﹣ A的平面角是銳角， ∴ 二面角 M﹣ BN﹣ A的余弦值為 ． 18．設(shè)等差數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和為 Sn，且 S4=4S2， a2+a4=10． （ 1）求數(shù)列 {an}通項(xiàng)公式； （ 2）若數(shù)列 {bn}滿足 + +…+ =1﹣ ， n∈ N*，求數(shù)列 {bn}的前 n 項(xiàng)和 Tn． 【
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