20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)試一考試數(shù)學(xué)試題天津卷-理工類(完整版)
【正文】 為 AA1 的中點(diǎn)，故 FPEA //1 ． 而 ?FP 平面 FCB1 ， ?EA1 平面 FCB1 ，所以 //1EA 平面 FCB1 ． （Ⅲ）連結(jié) CA1 ．在 ACA1? 和 ABA1? 中，由于 ABAC? ， ACAABA 11 ??? ，AAAA 11 ? ，則 ACA1? ≌ ABA1? ，故 BACA 11 ? ．由已知得 aCABAAA ??? 111 ． 又∵ ?HA1 平面 ABC，∴ H 為 ABC? 的外心． 設(shè)所求球的球心為 O ，則 HAO 1? ，且球心 O 與 AA1 中點(diǎn)的連線 AAOF 1? ． 在 FOARt 1? 中， 3330c o s21c o s 111aaHAAFAOA ????．故所求球的半徑 aR 33? ，球的體積33 273434 aRV ?? ?? ． （ 20）解：如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，則 )0,200(A ， )220,0(B ， )300,0(C ． 直線 l 的方程為 ?tan)20 0( ?? xy ，即 2200?? xy ． 設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ),( yx ，則 )2200,( ?xxP （ 200?x ） 由經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式 xxxxk PC 2 8003002200 ????? ，xxxxk PB 2 6402202200 ????? ． 由直線 PC到直線 PB 的角的公式得 中國(guó)最大的管理資源中心 (大量免費(fèi)資源共享 ) 第 13 頁(yè) 共 16 頁(yè) 6 4 01 6 02 8 86426 4 028 0 01 21 6 01t a n 2 ????????????xxxxxxx xkkkkBPCPCPBPCPB 2 8 86 4 01 6 064???? xx（ 200?x ） 要使 BPCtan 達(dá)到最大，只須 2 8 86 4 01 6 0 ??? xx 達(dá)到最小 ． 由均值不等式 2886401602288640160 ?????? xx ．當(dāng)且僅當(dāng) xx 640160?? 時(shí)上式取等號(hào)．故當(dāng) 320?x 時(shí) BPCtan 最大．這時(shí)，點(diǎn) P 的縱坐標(biāo) y 為602 2 0 03 2 0 ???y ． 由此實(shí)際問(wèn)題知， 20 ???? BPC ，所以 BPCtan 最大時(shí)， BPC? 最大．故當(dāng)此人距水平地面 60 米高時(shí)，觀看鐵塔的視角 BPC? 最大． （ 21）解： （Ⅰ）由拋物線 C 的方程 2axy? （ 0?a ）得，焦點(diǎn)坐標(biāo)為 )41,0( a ，準(zhǔn)線方程為 ay 41?? ． （Ⅱ）證明：設(shè)直線 PA 的方程為 )( 010 xxkyy ??? ，直線 PB 的方程為)( 020 xxkyy ??? ． 點(diǎn) ),( 00 yxP 和點(diǎn) ),( 11 yxA 的坐標(biāo)是方程組??? ? ??? 2 010 )(axy xxkyy 的解 ．將②式代入①式得 000112 ???? yxkxkax ，于是 akxx 101 ??，故011 xakx ?? ③ 又點(diǎn) ),( 00 yxP 和點(diǎn) ),( 22 yxB 的坐標(biāo)是方程組??? ? ??? 2 010 )(axy xxkyy ①② ④⑤ 中國(guó)最大的管理資源中心 (大量免費(fèi)資源共享 ) 第 14 頁(yè) 共 16 頁(yè) 的解 ．將⑤式代入④式得 000222 ???? yxkxkax ．于是 akxx 202 ??，故022 xakx ??． 由已知得， 12 kk ??? ，則012 xkax ??? ?． ⑥ 設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 ),( MM yx ，由 MABM ?? ，則 ????? 1 12 xxxM． 將③式和⑥式代入上式得0001 xxxx M ?????? ??，即 00 ?? xx M ．所以線段 PM的中點(diǎn)在 y 軸上． （Ⅲ）因?yàn)辄c(diǎn) )1,1( ?P 在拋物線 2axy? 上，所以 1??a ，拋物線方程為 2xy ?? ． 由③式知 111 ??? kx ，代入 2xy ?? 得 211 )1( ??? ky ． 將 1?? 代入⑥式得 112 ??kx ，代入 2xy ?? 得 222 )1( ??? ky ． 因此，直線 PA 、 PB 分別與拋物線 C 的交點(diǎn) A 、 B 的坐標(biāo)為 )12,1( 1211 ????? kkkA ， )12,1( 1211 ???? kkkB ．于是 )2,2( 1211 kkkAP ??? ，)4,2( 11 kkAB? ， )12)(2(2)2(4)2(2 111121111 ???????? kkkkkkkkABAP ． 因 PAB? 為鈍角且 P 、 A 、 B 三點(diǎn)互不相同，故必有 0??ABAP ． 求得 1k 的取值范圍是 21 ??k 或 0211 ??? k．又點(diǎn) A 的縱坐標(biāo) 1y 滿足211 )1(
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