【正文】 (ⅱ )圖像法 (ⅲ )列表法 2023/09 3 微積分 （ 3）函數(shù)的分類 ： (ⅰ )基本初等函數(shù)： ①常數(shù) y= c (c為常數(shù) ) ②冪函數(shù) y =x ? （ ?為任意實(shí)數(shù)） ③指數(shù) y =ax （ a 0,a≠1） ④對(duì)數(shù)函數(shù) y=logax （ a 0,a≠1） ※ 熟悉基本初等函數(shù)特性、圖像形態(tài)。 2023/09 8 微積分 3 2 ) 2 ( ) ln 1 ( ) 1 ( 2 x e y x y ? ? ? 例：找函數(shù)復(fù)合關(guān)系。,an g(x)]=A 177。 例 20)1(lnli mxxxx???※ 注意： ， ln(1+x)不能用 x代換。(0) 定義：設(shè) y= f (x)在點(diǎn) x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果 存在，則稱函數(shù)在點(diǎn) x0處可導(dǎo)。= ex （ 4）對(duì)數(shù)函數(shù) ： (logax) 39。 u2177。 u239。 v] 39。= u139。00000xufxuuyxyxu????例：設(shè) y= f (x2)，求 y39。(x)，稱為 f (x)的二階導(dǎo)數(shù)。 2023/09 39 微積分 3）單調(diào)性判定 函數(shù) y= f (x) ： f 39。39。39。 ※ 函數(shù)單調(diào)性、極值、凹凸性均可采用三欄列表方式討論。(x)=0或不存在之點(diǎn) xi (3) 按 xi劃分定義區(qū)間 (4) 列表分析 x f 39。=1 所以有 dx=△ x 因此， dy =f 39。（ v=4πr3 /3 ） 解： △ v≈dv = v39。( ) d [ ( ) ] d ( )f x x x f x x? ? ? ????2023/09 58 微積分 2023/09 59 微積分 2．第二類換元法 —— 變量代換 根式代換 \三角代換 33d(1 )3d( 2)1d( 3 )xxxxxxxx??????2023/09 60 微積分 ◇ 分部積分法 ( 1 ) d( 2) l n d( 3 ) l n( +1) dxx e xxxx x x???※ 一般適用不同類函數(shù)函數(shù)乘積（無復(fù)合關(guān)系）情形。且有 )(]39。(x) = f (x) ，則 記作 證：設(shè) F(x)是 f (x)的一個(gè)原函數(shù)，而 ? ? ?? xa ttfxΦ d)(那么， Φ(x)=F(x)+c， ∴ Φ(b)=F(b)+c 而 Φ(a)=F(a)+c=0， ∴ F(a) = c，從而 ? ? ? ? ? ? ? ?aFbFttfb ba ??? ? d2023/09 69 微積分 例： 2023/09 70 微積分 定積分計(jì)算： 1）換元法： ? ? ? ? ttxtx d39。 則稱函數(shù) z=f (x, y)在點(diǎn) (x0, y0)處連續(xù)。記作 ※ 當(dāng) z〃 xy與 z〃 yx 都連續(xù)時(shí)，則 z〃 xy= z〃 yx ※ 還可推至 3階、 4階， y(x0, y0)=0 ※ P0稱為駐點(diǎn)。 （ 3）如果 H(P0)0，則點(diǎn) P0為不是極值點(diǎn)。 39。 0( , ) 0x x xy y yL f yL f xx y x y a? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ??2023/09 89 微積分 對(duì)于 3個(gè)變量問題： 步驟： ①作拉格朗日函數(shù) ②求函數(shù)駐點(diǎn)：聯(lián)立求解 λ—— 拉格朗日乘數(shù) 2023/09 90 微積分 例：求函數(shù) u=x2y2z2的最大值。x=2xy2z2+ 2?x=0 L39。 解：設(shè)長(zhǎng)方形邊長(zhǎng)為 x， y 則面積為 S=xy，滿足周長(zhǎng)條件： x+y=a ( , ) ( , )()L f x y x yx y x y a?????? ? ? ?①作拉格朗日函數(shù) ②求函數(shù)駐點(diǎn)： 聯(lián)立求解 39。 2023/09 86 微積分 例：求 f (x,y)=e2x(x+y2+2y)的極值。 （ 3）極值點(diǎn)充分條件：設(shè) P0 (x0, y0)是 z=f (x, y)的一個(gè)駐點(diǎn)， f 在點(diǎn) P0的某個(gè)鄰域內(nèi)的二階偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，其二階行列式 2023/09 85 微積分 （ 1）如果 H(P0)0， f 39。記作 （ 4）偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算：仿一元函數(shù) （ 5）全微分：函數(shù) z=f (x, y)在點(diǎn) (x, y) 處 dz= zx39。 2．求由曲線 y2=x和直線 x+y=2所圍平面圖形的面積。 xfttfxΦ xa?? ?? ? 稱為變下限積分。 (x0)△ x ，或 f (x0 +△ x) = f (x0)+△ y ≈ f (x0)+dy= f (x0)+f 39。 dd 39。(x) f (x) 例：求函數(shù) f (x)=x44x318x2+2x1的凹凸性及拐點(diǎn)。 解：基本步驟 （ 1）求 f 39。39。39。(x) 0單調(diào)減少 2023/09 40 微積分 4）極值 ———— 極大值、極小值 ※ 依駐點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn) x0鄰域內(nèi)導(dǎo)數(shù)符號(hào)變化判定。39。(x) ≠0，則其反函數(shù) x=?(y)在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)也可導(dǎo)，且 ◇ 對(duì)數(shù)求導(dǎo) 對(duì)于 y=f (x) g(x) ，先取對(duì)數(shù)，再兩端求導(dǎo)。 （ 3）商： 39。u n +u2 v + u v39。 = axln1x12023/09 30 微積分 5． 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算 設(shè) u=u (x)， v=v (x)可導(dǎo)，則 （ 1）和差： [u 177。記作 y39。 ? ? ? ?00lim xfxfxx ??※ 連續(xù)函數(shù)：若 f (x)在（ a, b）內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱f (x) 在（ a, b）上是連續(xù)函數(shù)。v(x) ?A， 那么， [1+ u(x) ]v(x) ?eA 例： 2023/09 17 微積分 4．無窮小量與無窮大量 （ 1） ，稱 f (x)在 x→* （ x→ x0或 x → ∞）為無窮小量。 g(x)]=A {an}： a1,a2,求例：)23(lg125 2????xxy例：若等腰三角形周長(zhǎng)為 20，底邊長(zhǎng)為 y，一腰長(zhǎng)為 x，求 y與 x之間的函數(shù)關(guān)系，并確定定義域。 2023/09 7 微積分 例：判斷函數(shù) y=