新人教b版高中數(shù)學(xué)選修1-1332利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值(完整版)
【正文】 的一個 極小值 ， 2是函數(shù) 的一個 極小值點 。當(dāng) x=a時 ,f(x)有極小值 f(a)=2a. 例 2:求函數(shù) 的極值 . )0()( 2 ??? axaxxf解 :函數(shù)的定義域為 ),0()0,( ???? ?.))((1)( 222xaxaxxaxf ??????令 ,解得 x1=a,x2=a(a0). 0)( ?? xf當(dāng) x變化時 , ,f(x)的變化情況如下表 : )(xf?練習(xí) 1:求函數(shù) 的極值 . 216xxy??解 : .)1()1(6222xxy????令 =0,解得 x1=1,x2=1. y?當(dāng) x變化時 , ,y的變化情況如下表 : y? x (∞ ,1) 1 (1,1) 1 (2,+∞ ) y’ 0 + 0 y ↘ 極大值 3 ↗ 極小值 3 ↘ 因此 ,當(dāng) x=1時有極大值 ,并且 ,y極大值 =3。02)()( 2 ????? xxfxg又當(dāng) 時 , .022)2()2(2 ?????? fgx所以當(dāng) 時 ,函數(shù) y=f(x2)取得極小值 . 2?x為什么要加上這一步 ? 例 3:已知 : (1)證明 :f(x)恰有一個極大值點和一個極小值點 。 ,0)(,0)( ???? xfxf (2):如果在 x0附近的左側(cè) 右側(cè) 那么 , f(x0)是極小值 . ,0)(,0)( ???? xfxf : (1)函數(shù)的極值是一個局部性的概念 ,極值點是區(qū)間內(nèi) 部的點而不會是端點 . (2)若 f(x)在某區(qū)間內(nèi)有極值 ,那么 f(x)在某區(qū)間內(nèi)一定 不是單調(diào)函數(shù) ,即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒有極值 . (3)極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系 ,即極大值不 一定比極小值大 ,極小值不一定比極大值小 . (4)函數(shù) f(x)在某區(qū)間內(nèi)有極值 ,它的極值點的分布是 有規(guī)律的 ,相鄰兩個極大值點之間必有一個極小值 點 ,同樣相鄰兩個極小值點之間必有一個極大值點 . 一般地 ,當(dāng)函數(shù) f(x)在某區(qū)間上連續(xù)且有有限極值 點時 ,函數(shù) f(x)在該區(qū)間內(nèi)的極大值點與極小值點 是交替出現(xiàn)的 . (5)導(dǎo)數(shù)為零的點是該點為極值點的必要條件 ,而不是 充分條件 . (6)極值只能在函數(shù)不可導(dǎo)的點或?qū)?shù)為零的點取到 . ,理解可導(dǎo)函數(shù)在 其定義域上的單調(diào)性與函數(shù)極值的相互關(guān)系 ,掌握利 用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)極值的基本方法 . 例 1:已知函數(shù) f(x)滿足條件 :① 當(dāng) x2時 , 。 而 ,當(dāng) x=2時有極小值 ,并且 ,y極小值 = 4/3.
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