北師大版選修2-2高考數(shù)學(xué)14數(shù)學(xué)歸納法(完整版)
【正文】 假設(shè)當(dāng) n = k 時等式成立 ,那么當(dāng) n = k+ 1 時 ,直接使用裂項相減法求得 12 4+14 6+16 8+ … +12 ?? ( 2 ?? + 2 )+1( 2 ?? + 2 )( 2 ?? + 4 ) =12 1214 + 1416 + ? + 12 ??12 ?? + 2 + 12 ?? + 212 ?? + 4 =12 1212 ?? + 4 =?? + 14 [( ?? + 1 ) + 1 ],即 n = k+ 1 時等式成立 . 由 ( 1 ) 和 ( 2 ) 可知 ,等式對一切 n ∈ N+都成立 . 錯因分析 :由 n = k 到 n = k+ 1 時等式的證明沒有用歸納假設(shè) ,是典型的套用數(shù)學(xué)歸納法的一種偽證 . 探究一 探究二 探究三 探究四 正確證法 :( 1 ) 當(dāng) n= 1 時 ,左邊 =12 4=18,右邊 =18,等式成立 . ( 2 ) 假設(shè)當(dāng) n = k 時 , 12 4+14 6+16 8+ … +12 ?? ( 2 ?? + 2 )=??4 ( ?? + 1 )成立 . 那么當(dāng) n = k+ 1 時 , 12 4+14 6+16 8+ … +12 ?? ( 2 ?? + 2 )+1( 2 ?? + 2 )( 2 ?? + 4 ) =??4 ( ?? + 1 )+14 ( ?? + 1 )( ?? + 2 ) =?? ( ?? + 2 ) + 14 ( ?? + 1 )( ?? + 2 )=( ?? + 1 )24 ( ?? + 1 )( ?? + 2 ) =?? + 14 ( ?? + 2 )=?? + 14 [( ?? + 1 ) + 1 ], ∴ 當(dāng) n = k+ 1 時 ,等式成立 . 由 ( 1 ) 和 ( 2 ) ,可知對一切 n ∈ N+等式都成立 . 1 2 3 4 5 1 .用數(shù)學(xué)歸納法證明 “ 2nn2+ 1 對于 n ≥ n 0 的自然數(shù) n 都成立 ” 時 , 第一步證明中的初始值 n 0 應(yīng)取 ( ) 答案 : C 1 2 3 4 5 2 .用數(shù)學(xué)歸納法證明 ( n+ 1 ) ( n+ 2) ? ( n + n ) = 2n 1 3 ? (2 n 1 ) ( n ∈ N+), 從“ k 到 k+ 1 ” 左端需增乘的代數(shù)式為 ( ) k+ 1 B . 2 ( 2 k+ 1) C.2 ?? + 1?? + 1 D.2 ?? + 3?? + 1 解析 :當(dāng) n = k 時 ,左邊 = ( k+ 1 ) ( k+ 2) … ( k+ k ), 而當(dāng) n = k+ 1 時 , 左邊 = [( k+ 1) + 1 ] [ ( k+ 1) + 2] … [( k+ 1) + ( k 1 ) ] [ ( k+ 1) +k ][( k+ 1) + ( k+ 1 ) ] = ( k+ 2 ) ( k+ 3) … ( k+ k )(2 k+ 1 ) ( 2 k+ 2) = 2( k+ 1 ) ( k+ 2) … ( k+ k ) ( 2 k+ 1) . 答案 : B 1 2 3 4 5 3 .對于不等式 ??2+ ?? n + 1( n ∈ N+), 某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明的過程如下 : ( 1 ) 當(dāng) n= 1 時 , 12+ 1 1 + 1, 不等式成立 . ( 2 ) 假設(shè)當(dāng) n = k ( k ∈ N+) 時 , 不等式成立 , 即 ??2+ ?? k+ 1, 則當(dāng) n = k+ 1 時 , ( ?? + 1 )2+ ( ?? + 1 ) = ??2+ 3 ?? + 2 ( ??2+ 3 ?? + 2 ) + ( ?? + 2 ) = ( k + 1) + 1, ∴ 當(dāng) n = k+ 1 時 , 不等式成立 . 1 2 3 4 5 關(guān)于上述證法 , 下列說法正確的是 ( ) A. 過程全部正確 B. n= 1 時驗證不正確 C. 歸納假設(shè)不正確 D. 從 n = k 到 n = k+ 1 的推理不正確 解析 :因為從 n = k 到 n =
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