北師大版選修2-2高考數學32導數在實際問題中的應用(完整版)
【正文】 是反映一次降雨大小的一個重要指標 . 1 2 2 .最大值、最小值問題 函數 y= f ( x ) 在區(qū)間 [ a , b ] 上的最大值點 x 0 指的是 : 函數在這個區(qū)間上所有點的函數值 都不超過 f ( x 0 ) .最大值或者在極大值點取得 , 或者在區(qū)間的端點取得 .因此 , 要想求函數的最大值 , 應首先求出函數的極大值點 , 然后將所有極大值點與區(qū)間端點的函數值進行比較 , 其中 最大的值 即為函數的 最大值 .函數的最小值點也有類似的意義和求法 .函數的最大值和最小值統(tǒng)稱為最值 . 1 2 做一做 在高為 H 、底面半徑為 R 的圓錐內作一個內接圓柱 ,問圓柱底面半徑r 為多大時 ,圓柱體積最大 ? 解 :設圓柱底面半徑為 r 、高為 h 、體積為 V , 在圓錐的軸截面 △ ABC 中 ( 如圖所示 ), ∵???? ?=????, ∴ h = H 1 ???? , ∴ V= π r2h= π r2H 1 ???? = π Hr2 π????r3(0 r R ), V 39。 ( x ) = 0 得到方程的根x 1 , x 2 ,… ,直接求得函數值 f ( x 1 ), f ( x 2 ), … ,然后去與端點的函數值比較就可以了 ,省略了判斷極值的過程 .當然導數法與函數的單調性結合 ,也可以求最值 . 探究一 探究二 探究三 典例提升 1 已知函數 f ( x ) =ln ???? x , 求函數 f ( x ) 的最大值 . 解 : ∵ f39。 ( x ) = 3 ax2 4 a x= a x (3 x 4) . 令 f39。 ( x ) = 0, 即2 400( 3 ?? + 5 )2= 6, 解得 x1= 5, x2= 253( 舍去 ), 當 0 x 5 時 , f39。 當π3 θ π2時 , S 39。 0。 ( x ) = 3 x2 x 2 .令 3 x2 x 2 = 0, ∴ x1= 1, x2= 23, ∴ f ( 1) = 1 12+ 2 + 5 =112, f ( 1 ) = 1 12 2 + 5 =72, f ( 2 ) = 8 2 4 + 5 = 7, f 23 = 827?418+43+ 5 =15727. ∵ 對任意 x ∈ [ 1 , 2 ] 都有 f ( x ) m , 則 m72 ∵72是最小值 ) . 答案 : ∞ ,72 1 2 3 4 5 5 .某單位用木料制作如圖所示框架 , 框架的下部是邊長分別為 x , y ( 單位 :m )的矩形 , 上部是等腰直角三角形 .要求框架圍成的總面積為 8 m2, 問 x , y 分別為多少 ( 精確到 0 . 0 0 1 m ) 時用料最省 ? 1 2 3 4 5 解 :依題意 ,有 xy+12 0 . 所以當 x= 8 4 2 時 , l 取得最小值 , 此時 , x= 8 4 2 ≈ 2 . 3 4 3 ( m ) , y ≈ 2 . 8 2 8 ( m ) . 即當 x 約為 2 . 3 4 3 m, y
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