蘇教版選修1-1高中數學專題歸納提升1(完整版)
【正文】 性命題為背景 ， 以解答題形式出現． 判斷下列命題是否是全稱命題或存在性命題 ，并判斷其真假． ( 1 ) 任何一條直線都存在斜率； ( 2 ) 所有的實數 a 、 b ， 方程 a x ＋ b ＝ 0 恰有惟一解． 【思路點撥】 看命題中是否存在全稱量詞或存在量詞是判斷全稱命題或存在性命題的關鍵． 【規(guī)范解答】 ( 1 ) 是全稱命題．因為當直線垂直于 x 軸時斜率不存在 ， 所以是假命題． ( 2 ) 是全稱命題．因為當 a ＝ 0 ， b ≠ 0 時 ， 方程 a x ＋ b ＝ 0無解 ， 所以是假命題． 寫出下列命題的 “ 綈 p ” 形式的命題 ， 并判斷它們的真假． ( 1 ) p ：對任意實數 x ， 都有 x2－ 2 x ＋ 1 ≥ 0 ； ( 2 ) p ：存在實數 x ， 使得 x2－ 9 ＝ 0. 【解】 ( 1 ) 綈 p ： x ∈ R ， 使得 x2－ 2 x ＋ 1 0 ， 由于 x2－ 2 x ＋ 1 ＝ ( x － 1)2， 且任意實數的平方非負 ， 知“ 綈 p ” 為假命題． ( 2 ) 綈 p ： x ∈ R ， x2－ 9 ≠ 0 ， 因為當 x ＝ 3 時 ， x2－ 9 ＝ 0 成立 ， 即 p 真 ， 故 “ 綈 p ” 為假命題． 等價轉化思想 等價轉化的思想是包含在化歸思想中的比較具體的一種數學思想 ， 本章主要體現在四種命題間的相互關系與集合之間關系的等價轉化、原命題與其逆否命題之間的等價轉化等 ，即以充要條件為基礎 ，把同一種數學意義的內容從一種數學語言形式等價轉化為另一種數學語言形式，從而使復雜問題簡單化、具體化． 判斷命題 “ 已知 a 、 x 為實數 ， 若關于 x 的不等式 x2＋ (2 a ＋ 1) x ＋ a2＋ 2 ≤ 0 的解集非空 ， 則 a ≥ 1 ” 的逆否命題的真假． 【思路點撥】 主要考查命題的真假及轉化思想 ， 可用多種方法求解． 【規(guī)范解答】 法一 直接法． 逆否命題：已知 a 、 x 為實數 ， 若 a 1 ， 則關于 x 的不等式 x2＋ (2 a ＋ 1) x ＋ a2＋ 2 ≤ 0 的解集為空集．判斷如下： 拋物線 y ＝ x2＋ (2 a ＋ 1) x ＋ a2＋ 2 開口向上 ， 判別式 Δ ＝ (2 a ＋ 1)2－ 4( a2＋ 2) ＝ 4 a － 7 ， ∵ a 1 ， ∴ 4 a － 7 0 .
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