3-2第3課時(完整版)
【正文】 線與它在該平面內(nèi)的 ____ _ 的 _____ ，特別當直線與平面平行或在平面內(nèi)時，直線與平面的夾角為 __ ， 當直線與平面垂直時，直線與平面的夾角為 __ _ ． 投影 夾角 0 π2 空間中的角 角的分類 向量求法 范圍 異面直線 所成的角 設(shè)兩異面直線所成的角為 θ，它們的方向向量分別為 a， b，則 cos θ＝ _____________＝ ______ 直線與 平面所 成的角 設(shè)直線 l與平面 α所成的角為 θ， l的方向向量為 a，平面 α的法向量為 n， 則 sin θ＝ _____________＝ _____ 二面角 設(shè)二面角 αlβ的平面角為 θ，平面 α、 β的法向量為 n1， n2，則 |cos θ|＝ _______________＝ _______ [0， π] |cos〈 a， b〉 | 2． |cos〈 a， n〉 | |cos〈 n1， n2〉 | |a CF→＝－ 1 ＋ 0 ＋ 4 ＝ 3. 又 AE→ AM→＝ 0 ＋a24＋ 2 a2＝9 a24， | AC1→|＝3 a24＋a24＋ 2 a2＝ 3 a ， | AM→|＝a24＋ 2 a2＝32a ， ∴ c os 〈 AC1→， AM→〉＝9 a243 a 3 a2＝32. ∴ 〈 AC1→， AM→〉＝ 30 176。 n ＝ 0.∴?????－32ax ＋a2y ＋ 2 az ＝ 0 ，a2y ＋ 2 az ＝ 0 ， 令 y ＝ 2 ，則 z ＝－22， x ＝ 0. ∴ n ＝ ( 0 ， 2 ，－22) ． 又 BC1→＝ ( －32a ，－a2， 2 a ) ， ∴ c os 〈 BC1→， n 〉＝BC1→ B 的余弦值為64. 12 分 【 變式 3】 若 PA ⊥ 平面 ABC ， AC ⊥ BC ， PA ＝ AC ＝ 1 ， BC ＝ 2 ，求二面角 A PB C 的余弦值 ． 解 如圖所示建立空間直角坐標系，則 A ( 0 ， 0 ， 0 ) ， B ( 2 ， 1 ， 0 ) ， C ( 0 ， 1 ， 0 ) ， P ( 0 ， 0 ， 1 ) ， 故 AP→＝ ( 0 ， 0 ， 1 ) ， AB→＝ ( 2 ， 1 ， 0 ) ， CB→＝ ( 2 ， 0 ， 0 ) ， CP→＝ ( 0 ，－ 1 ， 1 ) ， 設(shè)平面 P A B 的法向量為 m ＝ ( x ， y ， z ) ， 則?????m （ 0 ，－ 1 ， 1 ）＝ 0??????2 x ′ ＝ 0 ，－ y ′＋ z ′ ＝ 0. 令 y ′ ＝－ 1 ，則 z ′ ＝－ 1 ，故 n ＝ (0 ，－ 1 ，－ 1) ， ∴ c os 〈 m ， n 〉＝m OP→＝ 0 ， n AB→＝ 0?????? （ x ， y ， z ） AD→＝ 0 ，n . 法二 AB→＝ ( 0 ， a ， 0 ) ， AA1→＝ ( 0 ， 0 ， 2 a ) ， AC1→＝ ( －32a ，a2， 2 a ) ． 設(shè)側(cè)面 ABB1A1的法向量 n ＝ ( λ ， x ， y ) ， ∴ n ，在四邊形ABCD中， ∠ ADC＝ ∠ DAB＝ 90176。 |b| (0， π2 ] |a n2||n1||n2| 試一試 ：若二面角 α l β的兩個半
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