人教b版選修2-2高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明(完整版)
【正文】 1)不存在 。已知 L L2 是異面直線且 A、 B∈ L1,C、 D∈ L2, 求證 。例 :平面內(nèi)有 n條直線 ,其中任何兩條不平行 ,任何三條不過(guò)同一點(diǎn) ,證明交點(diǎn)的個(gè)數(shù) f(n)等于 n(n1)/2. 證 :(1)當(dāng) n=2時(shí) ,兩條直線 的交點(diǎn)只有 1個(gè) ,又f(2)=2?(21)/2=1,因此 ,當(dāng) n=2時(shí)命題成立 . (2)假設(shè)當(dāng) n=k(k≥ 2)時(shí)命題成立 ,就是說(shuō) ,平面內(nèi)滿足 題設(shè)的任何 k條直線 的交點(diǎn)個(gè)數(shù) f(k)等于 k(k1)/2. 以下來(lái)考慮平面內(nèi)有 k+1條直線的情況 .任取其中 的 1條直線 ,記作 ,除 l以外的其他 k條直線的 交點(diǎn)個(gè)數(shù) f(k)等于 k(k1)/2. 另外 ,因?yàn)橐阎魏蝺蓷l直線不平行 ,所以直線 l必與平面內(nèi)其他 k條直線都相交 ,有 k個(gè)交點(diǎn) . 又因?yàn)橐阎魏稳龡l直線不過(guò)同一點(diǎn) ,所以上面的 k個(gè)交點(diǎn)兩兩不相同 ,且與平面內(nèi)其他的 k(k1)/2個(gè) 交點(diǎn)也兩兩不相同 . 從而平面內(nèi)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 k(k1)/2+k=k[(k1)+2]/2 =(k+1)[(k+1)1]/2. 這就是說(shuō) ,當(dāng) n=
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