高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-1第二章空間向量的運(yùn)算(完整版)
【正文】 (1) 空間向量的加法： 設(shè) a 和 b 是空間兩個(gè)向量，過(guò)一點(diǎn) O 作 a 和 b 的 向量 OA 和 OB ，以 OA 、 OB 為邊作平行四邊形，則對(duì)角線 對(duì)應(yīng)的向量 OC 就是 a 與 b 的和，記作 a ＋ b ，如圖． 相等 OC (2)空間向量的減法： a與 b的差定義為 a＋ (－ b)，記作 ，其中 是b的相反向量． (3)空間向量加減法的運(yùn)算律： ①結(jié)合律： (a＋ b)＋ c＝ ． ②交換律： a＋ b＝ . a－ b － b a＋ (b＋ c) b＋ a a為一空間向量． 問(wèn)題 1： 空間向量 a與一個(gè)實(shí)數(shù) λ的乘積為 λa， λa是向量嗎？ 提示： 是． 問(wèn)題 2： 當(dāng) λ＝ 0時(shí)， λa＝ 0對(duì)嗎？ 提示： 不對(duì)，應(yīng)為 0. 問(wèn)題 3： 若 a與 λa方向相反， λ的取值范圍是什么？ 提示： (－ ∞， 0)． 空間向量的數(shù)乘 (1)定義：與平面向量一樣 ， 實(shí)數(shù) λ與空間向量 a的乘積仍然是一個(gè) ， 記作 . (2)向量 λa與 a的關(guān)系： 向量 λ的范圍 方向關(guān)系 模的關(guān)系 λ＞ 0 方向 λa的模是 a的模的 倍 λ＝ 0 λa＝ ，其方向是 λ＜ 0 方向 相同 0 任意的 相反 |λ| λa (3)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算律： ①交換律： λa＝ (λ∈ R)； ②分配律： λ(a＋ b)＝ ， (λ＋ μ)a＝ λa＋ μ a(λ∈ R， μ∈ R)； ③結(jié)合律： (λμ)a＝ (λ∈ R， μ∈ R)． aλ λa＋ λb λ(μa) (4)定理：空間兩個(gè)向量 a與 b(b≠0)共線的充分必要條件是存在實(shí)數(shù) λ，使得 . a＝ λb 設(shè) a ， b ， c 是任意空間向量，類(lèi)比平面向量的數(shù)量積，回答以下問(wèn)題． 問(wèn)題 1 ： 由 a c ) 成立嗎？ 提示： 不一定，也可能〈 a ， b 〉＝π2. 提示： 不一定． 提示： 不一定． 空間向量的數(shù)量積 (1)空間兩個(gè)向量 a和 b的數(shù)量積是一個(gè) ，等于|a||b|cos〈 a， b〉 ，記作 . (2)運(yùn)算律： ①交換律： ； ②分配律： ； ③ λ(ab 數(shù) ( 3) 常見(jiàn)結(jié)論： ① | a |＝ ； ② a ⊥ b ? ； ③ c os 〈 a ， b 〉＝ ( a ≠ 0 ， b ≠ 0.) ( 4) 對(duì)任意一個(gè)非零向量，把 叫作向量 a 的單位向量，記作 a0. a0與 a 方向． a b ＋ b AC ； (2) AD ， 所以 AD ＝14a2. 1．在運(yùn)用空間向量的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)向量表達(dá)式時(shí)，要結(jié)合空間
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