20xx高中數(shù)學(xué)北師大版必修5第3章3基本不等式第2課時基本不等式與最大(小)值ppt同步課件(完整版)
【正文】 ， 它的年平均費用最少 ？ [分析 ] 年平均費用等于總費用除以年數(shù) ， 總費用包括：購車費 、 保險費 、 汽油費以及維修費用總和 ， 因此應(yīng)先計算總費用 ， 再計算年平均費用 ． [ 解析 ] 設(shè)使用 x 年平均費用最少． 由條件知：汽車每年維修費構(gòu)成以 萬元為首項， 0. 2 萬元為公差的等差數(shù)列． 因此，汽車使用 x 年總的維修費用為 ? ＋ x ? x2x＝10 ＋ x ＋ x2x ＝ 1 ＋10x＋x10≥ 1 ＋ 210xabc≥ 2 a ＋ 2 b ＋ 2 c ( 當且僅當 a ＝ b ＝ c 時，取等號 ) ． ∴bca＋acb＋abc≥ a ＋ b ＋ c . [ 方法總結(jié) ] 1. 使用均值不等式時，一定要注意是否滿足條件，等號能否成立． 2 ．對于證明多項和的不等式時，可以考慮分段應(yīng)用均值不等式或其變形，然后整體相加 ( 乘 ) 得結(jié)論． 已知 a、 b、 c為兩兩不相等的實數(shù) ， 求證： a2＋ b2＋ c2ab＋ bc＋ ca. [證明 ] ∵ a2＋ b22ab， b2＋ c22bc， c2＋ a22ca， 以上三式相加得： 2(a2＋ b2＋ c2)2ab＋ 2bc＋ 2ca， ∴ a2＋ b2＋ c2ab＋ bc＋ ca. 若正數(shù) a， b滿足 ab＝ a＋ b＋ 3， 求 ab的取值范圍 ． 利用基本不等式求參數(shù)的范圍 [ 分析 ] 由 ab ＝ a ＋ b ＋ 3 出發(fā)，求 ab 的范圍，關(guān)鍵是尋找ab 與 a ＋ b 之間的聯(lián)系，由此想到基本不等式 a ＋ b ≥ 2 ab . [ 解析 ] 令 ab ＝ t ( t 0 ) ． ∵ a ， b 均為正數(shù)， ∴ ab ＝ a ＋ b ＋ 3 ≥ 2 ab ＋ 3 ， 即得 t2≥ 2 t ＋ 3 ， 解得 t ≥ 3 或 t ≤ － 1( 舍去 ) ， ∴ ab ≥ 3 ， 故 ab ≥ 9 ， ∴ ab 的取值范圍是 [9 ，＋ ∞ ) ． [ 方法總結(jié) ] 均值不等式是聯(lián)系相乘與相加的基本不等式，解題時，應(yīng)靈活運用． 設(shè) a b c 且 1a － b ＋ 1b － c ≥ ma － c 恒成立，求 m 的取值范圍． [ 解析 ] 由 a b c ，知 a － b 0 ， a － c 0 ， b － c 0. 因此，原 不等式等價于a － ca － b＋a － cb － c≥ m ， a － ca － b＋a － cb － c＝? a － b ? ＋ ? b － c ?a － b＋? a － b ? ＋ ? b － c ?b － c＝ 2 ＋b － ca － b＋a － bb － c≥ 2 ＋ 2b － ca － b2y＝ 2 2x ＋ y＝ 2 23＝ 4 3 ( 當且僅當 x ＝y(tǒng) ＝32時取等號 ) 課堂典例講練 [分析 ] 若把分母視作一個整體 ， 用它來表示分子 ， 原式即可構(gòu)造成能利用基本不等式的形式 ． 利用基本不等式求最值 求函數(shù) y ＝ x4 ＋ 3 x 2 ＋ 3x 2 ＋ 1 的最小值． [方法總結(jié) ] 把已知函數(shù)解析式通過通分 、 配方 、 拆項等操作便可轉(zhuǎn)化成能利用基本不等式的形式 ． [ 解析 ] 令 t ＝ x2＋ 1 ，則 t ≥ 1 ，且 x2＝ t － 1 ， ∴ y ＝x4＋ 3 x2＋ 3x2＋ 1＝? t － 1 ?2＋ 3 ? t － 1 ? ＋ 3t＝t2＋ t ＋ 1t＝ t ＋1t＋ 1. ∵ t ≥ 1 ， ∴ t
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