20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)312橢圓的簡單性質(zhì)(完整版)
【正文】 范圍 a ≤x ≤a , b ≤ y ≤b b≤ x ≤b , a≤ y ≤a 頂點 A1( a , 0 ), A2(a , 0 ), B1(0 , b ) , B2(0 , b ) A1(0 , a) ,A2(0 , a ), B1( b , 0 ) , B2(b , 0 ) 1 2 標準方程 x2a2+y2b2= 1 (a b 0) y2a2+x2b2= 1 (a b 0 ) 焦點 F1( c , 0 ), F2(c , 0 ) F1(0 , c) ,F2( 0 , c ) 軸長 長軸長 |A1A2|= 2a , 短軸長 |B1B2|= 2b 焦距 |F1F2|= 2c 對稱性 關(guān)于 x 軸 、 y 軸 、 原點 對稱 , 既是 軸對稱圖形 , 又是中心對稱圖形 離心率 e=ca(0 e 1 ) 1 2 名師點撥 橢圓的焦半徑公式 :若 r 1 , r 2 分別表示橢圓x 2a 2+y 2b2=1 ( ab 0 ) 上一點 P ( x 0 , y 0 ) 與兩個焦點 F 1 ( c , 0 ), F 2 ( c , 0 ) 間的距離 ,則r 1 = a+ex 0 , r 2 =a ex 0 .這個橢圓上所有的點與焦點 F 1 ( c , 0 ) 的最近距離與最遠距離分別是 a c , a+c. 探究一 探究二 探究三 探究四 橢圓的簡單性質(zhì) 橢圓的焦點決定橢圓的位置 ,范圍決定橢圓的大小 ,離心率決定了橢圓的扁平程度 ,對稱性是橢 圓的重要特征 ,頂點是橢圓與對稱軸的交點 ,是橢圓重要的特殊點 .若已知橢圓的標準方程 ,則根據(jù) a , b 的值可確定其性質(zhì) . 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例題 1 】 求下列橢圓的長軸長 , 短軸長 , 焦距 , 離心率 , 焦點和頂點坐標 . ( 1 ) 16x2+25y2=400 。 橢圓的簡單性質(zhì) 課程目標 學(xué)習(xí)脈絡(luò) 1 . 掌握橢圓的中心、頂點、長軸、短軸、離心率的概念 , 理解橢圓的范圍和對稱性 . 2 . 掌握橢圓標準方程的 a , b , c , e 的幾何意義及a , b , c , e 之間的相互關(guān)系 . 3 . 用代數(shù)法研究曲線的幾何性質(zhì) , 熟練掌握橢圓的幾何性質(zhì) , 體會數(shù)形結(jié)合的思想 . 1 2 1 . 橢圓x2a2+y2b2=1 ( a b 0 ) 的簡單性質(zhì) 1 2 思考 1 如何理解橢圓的對稱性 ? 提示 :觀察橢圓的圖像 ,可以發(fā)現(xiàn)橢圓既是軸對稱圖形 ,又是中心對稱圖形 . 在橢圓x2a2+y2b2=1 ( a b 0 ) 中以 y 代 y ,方程并不改變 ,這說明當(dāng)點 P ( x , y )在橢圓上時 ,它關(guān)于 x 軸的對稱點 P1( x , y ) 也在橢圓上 ,所以橢圓關(guān)于 x 軸對稱 。 ( 2 ) 9x2+y2=81 。 ( 6 ) 長軸長是短軸長的 5 倍 , 過 P ( 6 , 2 ) 點 。x2a2+y2b2= 1 , 消去 y 得到一個一元二次方程 . 位置關(guān)系、解的個數(shù)與 Δ 的取值之間的關(guān)系如下表 . 位置關(guān)系 解的個數(shù) Δ 的取值 相交 兩解 Δ 0 相切 一解 Δ =0 相離 無解 Δ 0 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例題 3 】 已知橢圓 4x2+y2=1 及直線 y = x + m . ( 1 ) 當(dāng)直線和橢圓有公共點時 , 求實數(shù) m 的取值范圍 。 ( 4 ) m2x2+4m2y2=1 ( m 0 ) . 思路分析 :要確定橢圓的幾何性質(zhì) ,應(yīng)先把橢圓化為標準方程 ,再確定焦點的位置 ,然后利用定義求解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 解 : ( 1 ) 化為標準方程為x252+y242=1 , ∴ a = 5 , b = 4 , c= a2 b2
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