【正文】 進(jìn)行推理時(shí)預(yù)設(shè)了A對(duì)象的存在，只有如此，在一階系統(tǒng)中引入A名字才有其合理性與可行性。類似地，若給定A(t)，我們可以得到($v)A(v)。(t)是包括一個(gè)項(xiàng)t的合式公式，v是在A(t)中不出現(xiàn)的變?cè)珹(v) 是取代A(t)中至少一處t后得到的公式，則(v)A(v)是合式公式。完成這幾個(gè)步驟以后，就需要對(duì)合式公式（wellformed formula）進(jìn)行定義。其基本構(gòu)造如下在：首先，引入專名(proper name)，標(biāo)記如下：m，n，……。再例如下面這個(gè)常見的例子。這個(gè)系統(tǒng)把“任意的某某”作為語(yǔ)義上的對(duì)象來(lái)處理。第六，定義一個(gè)項(xiàng)（term）為一個(gè)專名或A名字。歸納條件：，則172。公式序列、推演和其他推導(dǎo)規(guī)則同命題邏輯中自然推演系統(tǒng)里的規(guī)定，此處不再詳舉。并且后面用語(yǔ)義學(xué)分析一階邏輯系統(tǒng)時(shí)，會(huì)提供一個(gè)很好的自然推理系統(tǒng)的例子?；卮鹆薃對(duì)象的存在問(wèn)題，則要進(jìn)一步解決的問(wèn)題是，A對(duì)象要復(fù)合的基本原則是什么?設(shè)a是一個(gè)A對(duì)象，當(dāng)我們說(shuō)φ(a)時(shí)，它與其代表的某范圍之下的個(gè)體屬性φ(i)是什么？一般地，我們會(huì)認(rèn)為任一A對(duì)象，若其域（range）之下的所有個(gè)體擁有某些共同屬性，那么該對(duì)象也應(yīng)該擁有這些屬性。后者依賴于前者，而G1原則的表達(dá)方式，使得依賴關(guān)系變成了雙向關(guān)系，個(gè)體對(duì)象與A對(duì)象相互依賴。例如代數(shù)證明中我們會(huì)提到“任一奇數(shù)”或者“任一偶數(shù)”，因此需要區(qū)分不同的A對(duì)象，它們分別限制到其值域中的不同部分。上面我們看到，不同A對(duì)象之間會(huì)存在依賴關(guān)系，這使得前面提到的G3原則需要修改，以容納這一特征，具體擴(kuò)展如下：G4：若φ(x1,x2,…,xn)是一不包含A名字的通有屬性，則φ(a1,a2,…,an)為真，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于所有a1,a2,…,an的可能指派i1,i2,…,in來(lái)說(shuō)，φ(i1,i2,…,in)為真。a＜b表示a的取值依賴于b的取值，稱a為依賴者（dependent），b為被依賴者（dependee）。對(duì)于a∈A，a的取值范圍（valuerange）VR(a)由所有的V中a的賦值結(jié)果v(a)構(gòu)成VR(a)={ v(a)：v∈V}。對(duì)于A的一個(gè)子集B，我們稱一個(gè)賦值指派v∈V是定義在B上（defined on）如果Dm(v)=B；稱v定義涵蓋B（defined over）如果Dm(v)B。亦即，v∈V并且BA，則v「B∈V。我們稱一個(gè)A模型M在A的一個(gè)子集B上是可擴(kuò)展的（extendible），如果對(duì)于B的每個(gè)子集B39。有如下結(jié)論：Th2: A模型M在A的一個(gè)封閉子集B上是可擴(kuò)展的，當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)a∈B是完全定義的。對(duì)于A中任意兩個(gè)依賴型A對(duì)象a、b，a=b如果1.|a|=|b|；2. VD=VD。一般地，我們假定在標(biāo)準(zhǔn)A模型下討論問(wèn)題。)是兩個(gè)A結(jié)構(gòu)，并且其基本賦值指派是相同的，那么F=F39。這一定理使得我們可以用規(guī)則集來(lái)刻畫典范基本集。除了語(yǔ)言上的擴(kuò)充以外，還要注意的重要一點(diǎn)是，公式的形成規(guī)則發(fā)生了變化，在Lemmon的系統(tǒng)下，帶有自由變?cè)墓讲辉俦划?dāng)作合式公式來(lái)處理。令φ(a1 , …,an)是一個(gè)公式，其中的A名字表示在括號(hào)里，我們說(shuō)φ在一個(gè)A模型M中相對(duì)于v∈V真，如果a1，…，an∈Dm(v)，并且M╞φ[v(a1),…,v(an)]。令A(yù)φ={a| a是φ中的A名字}。例如如果Δ={φ1，…，φn}。給定一個(gè)L的一個(gè)語(yǔ)句φ和L的A模型的一個(gè)類X，我們稱φ是相對(duì)于X（valid relative）有效的，如果對(duì)于每個(gè)M∈X，M╞φ。Th 13: 對(duì)于任一L的語(yǔ)句φ，╞Gφ當(dāng)且僅當(dāng)╞Cφ。此外，我們稱一個(gè)語(yǔ)言L下的推理(Δ,φ)是古典有效的，如果對(duì)于任一古典模型M，只要M╞Δ則M╞φ?！蔞，存在一個(gè)v∈V擴(kuò)展v39。有下面的重要定理：Th 15：若L 的推理(Δ,φ)是古典有效的，則它是個(gè)例有效的。我們用一個(gè)有序?qū)?a,Δ)來(lái)表示一個(gè)定義，其中Δ一些含一個(gè)自由變?cè)獂的擬公式集，a是一個(gè)A名字。借助這一記號(hào)，我們可以界定模型對(duì)定義的實(shí)現(xiàn)如下。用符號(hào)表示為ab。下面定義兩個(gè)模型的一般等值性（generically equivalent）。由上面兩個(gè)定義，我們可以得到如下定理：Th 18: 令S是一個(gè)完備的、明晰的和良基的定義系統(tǒng)。下面再引入一個(gè)定義。這些證明會(huì)使得我們對(duì)這種語(yǔ)義解釋的特點(diǎn)有更清楚的了解，也將會(huì)使我們重新來(lái)關(guān)注怎樣的一階邏輯系統(tǒng)更自然地刻畫了我們的推理過(guò)程。有如下引理：Lm20 ：令S是一個(gè)完備的系統(tǒng)，M實(shí)現(xiàn)S。和M都實(shí)現(xiàn)S。=(I，…，A39。也就是說(shuō)，a＜b是一個(gè)關(guān)系的首尾兩端?！蔞，VD(u)={i∈I: M╞u(Δ(i))}，也就是說(shuō)，對(duì)于任一u∈V，和任一v=u∪{a,i}，v∈V當(dāng)且僅當(dāng)M╞u(Δ(a))。Δ本身稱為定義條件。就是說(shuō)，若φ蘊(yùn)涵ψ，并且ψ蘊(yùn)涵χ（即φ/ψ和ψ/χ都是相對(duì)于某個(gè)A模型類有效），則φ蘊(yùn)涵χ不一定有效。這里如果A模型在相應(yīng)A對(duì)象類上具有可擴(kuò)展性，則有下面這一重要定理：Th 14：假定L 的推理(Δ,φ)是古典有效的，Δ與φ中的A名字指定的A對(duì)象在構(gòu)成一個(gè)類，令M是一個(gè)A模型，在這個(gè)類上可擴(kuò)展，則(Δ,φ)在M下具有恒真有效性。對(duì)于古典有效的推理和包含A對(duì)象的推理兩者之間的關(guān)系，我們可能會(huì)想到，在古典系統(tǒng)里普遍有效的那些推理，在一般語(yǔ)義學(xué)下面也是有效的。前者與絕對(duì)真的概念相對(duì)應(yīng)，后者與相對(duì)真的概念相對(duì)應(yīng)。我們稱φ是一般有效的（generically valid），如果φ相對(duì)于L所有的模型類中都是有效的。如果語(yǔ)句中不帶有A對(duì)象的出現(xiàn)，則上面定義的一般真（generic truth）和古典真（classical truth）對(duì)于語(yǔ)句的真值判斷是相同的。讓我們假定對(duì)于M中的每一個(gè)個(gè)體，L中都含有一個(gè)關(guān)于該個(gè)體的A名字。相對(duì)真簡(jiǎn)寫為M╞v φ。在Lemmon那里是用公式和合式公式進(jìn)行區(qū)分的。則存在一個(gè)唯一的A結(jié)構(gòu)F=(I,A,＜,V)，滿足如下條件：VD= f「V對(duì)每個(gè)a∈A。那么，哪一類指派構(gòu)成的集合會(huì)產(chǎn)生一個(gè)典范基本集呢？這與另外一個(gè)概念相關(guān)，其中定義如下，對(duì)于一個(gè)A框架(I,A,＜)來(lái)說(shuō)，稱一個(gè)由一些指派構(gòu)成的集合U是規(guī)則的（regular），如果：1. 對(duì)于每個(gè)u∈U，Dm(u)=[a]對(duì)于某個(gè)a∈A。下面先定義幾個(gè)基本概念。這稱為多樣性（multiplicity）。這里需要區(qū)分兩種存在條件，