a-對(duì)象在一階邏輯中的引入及其語(yǔ)義(存儲(chǔ)版)
【正文】 義之前，我們可以重新借助上面介紹的Lemmon系統(tǒng)，來(lái)了解語(yǔ)言是如何擴(kuò)充的。為了方便，以后直接用a來(lái)表示對(duì)A名字的指派d(a)。這一規(guī)定正是前面在哲學(xué)討論中提到的“通有屬性原則”的具體化。稱一個(gè)賦值v∈V定義涵蓋Δ，如果v定義涵蓋A，令v(Δ)={v(φ):φ∈V}。有效性包括兩部分內(nèi)容，一部分是公式的有效性，另外一部分是推理的有效性。如果把A名字當(dāng)作個(gè)體的名字，這一定義可以擴(kuò)展到語(yǔ)言L，即，稱L的一個(gè)句子φ是古典有效的（classically valid），如果φ在所有古典模型中是真的，其中A名字解釋為個(gè)體。如果X是L的所有A模型構(gòu)成的模型類，則稱(Δ,φ)是普遍有效的。在第五部分中我們提到，A模型M在A的一個(gè)子集B上是可擴(kuò)展的（extendible），如果對(duì)于B的每個(gè)子集B39。個(gè)例有效下的普遍有效和在一個(gè)模型模型M下有效定義與恒真有效的相關(guān)定義類似。七、對(duì)A名字的定義討論對(duì)A名字的定義，原因在于分析一階邏輯系統(tǒng)時(shí)，會(huì)遇到帶有自由變?cè)臄M公式，而這些公式和A名字之間的關(guān)系，需要進(jìn)行界定。這種定義依據(jù)的合理性，可以從數(shù)學(xué)練習(xí)中找到，例如我們?cè)谧C明或計(jì)算某個(gè)結(jié)果時(shí)，會(huì)任取兩個(gè)數(shù)字m，n，并為了實(shí)際證明，我們令m=n2，這樣一種表達(dá)式就可以用前面的記號(hào)表示為（m，x=b2）。稱一個(gè)定義系統(tǒng)S是明晰的（unequivocal），如果S中的A名字不是S中的兩個(gè)不同定義如(a,Δ) 和(a,Г)的被定義項(xiàng)。除了上面的一些特征以外，S還可能具有一些其他的性質(zhì)。的一一映射f，使得：1． 對(duì)于所有a，b∈A，a＜b當(dāng)且僅當(dāng)f(a) ＜39。稱一個(gè)定義(a,Δ)在一個(gè)古典模型M中是完全的(total)，定義(a, Δ)中給定項(xiàng)構(gòu)成集合B，如果對(duì)于任何從集合B到I的函數(shù)u，存在一個(gè)i∈I使得M╞u(Δ(i))。這些討論為后面對(duì)一階邏輯系統(tǒng)的分析做了一個(gè)鋪墊。則v∈V如果v符合S。和M在這個(gè)集合C上的限制是一般等值的。V39。根據(jù)上面引進(jìn)的一些規(guī)定，我們有如下定理：Th 17：假定定義系統(tǒng)S是明晰的和良基的。其被定義項(xiàng)是S中元素的被定義項(xiàng)，其給定項(xiàng)是S中元素的給定項(xiàng)，并且不是S中的某個(gè)被定義項(xiàng)。我們?cè)试SΔ是空集，或甚至包含a的出現(xiàn)。具體為如下定理：Th 16：弱個(gè)例有效性（cut for casetocase validity）假定Δ/φ和φ,Г/ψ都是在X下個(gè)例有效的推理，并且X中的模型M有下面屬性：任何定義在AΔ∪AГ∪Aψ上的v（v∈V），都可以擴(kuò)展為一個(gè)定義涵蓋Aφ的v（v∈V）。下面我們?cè)賮?lái)看個(gè)例有效性。需要對(duì)A模型附加新的條件才可以做到。若Δ={φ1,…,φn}，則(Δ,φ)可以寫作φ1,…,φn/φ，或者寫作。我們稱L的一個(gè)句子φ是古典有效的（classically valid），如果φ在所有古典模型中是真的。則M╞φ當(dāng)且僅當(dāng)M╞φ。引進(jìn)這些記號(hào)以后，我們可以簡(jiǎn)化前面的定義：M╞ φ當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于每個(gè)定義涵蓋（defined over）φ的v（v∈V），M╞v(φ)。簡(jiǎn)寫為M╞φ。我們把擴(kuò)充前的語(yǔ)言用L來(lái)表示，擴(kuò)充后的語(yǔ)言用L表示。則A結(jié)構(gòu)(I,A,＜,V)滿足可擴(kuò)展性。按照如上定義，有一個(gè)引理如下：Lm 5 ：令U為一個(gè)A框架(I,A,＜)的一些指派構(gòu)成的規(guī)則集（regular set）。稱一個(gè)V的子集U是V的一個(gè)基本集，如果V等于U在限制（restriction）和拼合(piecing)下的閉包U，也就是說(shuō)V是最小的包含U并且在限制和拼合下封閉的集合。對(duì)于任一依賴型A對(duì)象a，至少存在基數(shù)為c的依賴型A對(duì)象b，使得1.|a|=|b|；2. VD = VD。對(duì)于依賴型A對(duì)象，則有如下的規(guī)定（existence dep）：對(duì)于每個(gè)A的非空封閉子集B，和每個(gè)從到I的冪集P(I)的函數(shù)f，存在一個(gè)a∈A使得：1.|a|=B；2. VD=f。我們說(shuō)一個(gè)A模型M是擴(kuò)展的，或者是滿足可擴(kuò)展性，如果它在其定義域A上可擴(kuò)展。五、關(guān)于A模型的其他條件和不同的A模型對(duì)于A模型要附加的其他條件涉及到賦值指派的可擴(kuò)展性問(wèn)題，以及A對(duì)象的存在，同一性和復(fù)雜性問(wèn)題。VD(a, |a|)通常簡(jiǎn)寫為VD(a)或者VD。一個(gè)A對(duì)象稱為受限的（restricted）如果它是賦值受限的或者是依賴的，否則稱為不受限的（unrestricted）。M稱為一個(gè)可能的A模型，A稱為A域，A中的元素稱為A對(duì)象。一般地，我們會(huì)構(gòu)造一個(gè)模型M，包括個(gè)體域I，對(duì)非邏輯符號(hào)的解釋，即形如M=(I，…)，這里我們把這種模型稱為古典模型（classical model）。有了這兩個(gè)條件，我們就可以提供一個(gè)明確的同一性標(biāo)準(zhǔn)。即有G3：對(duì)于通有屬性φ(x)，φ(a)真當(dāng)且僅當(dāng)iφ(i)真。但并非所有數(shù)都是偶數(shù)，所以﹁iEi，這樣會(huì)導(dǎo)致﹁Ea，所以會(huì)出現(xiàn)矛盾。那么，我們說(shuō)“一個(gè)任意的集合”或“一個(gè)任意的三角形”時(shí)，其指稱是什么？A對(duì)象或“任意型對(duì)象”是否是客觀實(shí)在的？我們認(rèn)為，當(dāng)談?wù)揂對(duì)象時(shí)，我們是在唯名論意義上講的，A對(duì)象是抽象體，不是經(jīng)驗(yàn)觀察意義上的存在對(duì)象，而是依賴?yán)碇前盐盏某橄髮?duì)象。UI和EE：若A(e)是一個(gè)帶A名字e的合式公式，v是不出現(xiàn)在A(e)中的變?cè)?，A(v)是用v取代A(e)中所有并且只是e出現(xiàn)后得到的公式，則給定A(e)，并且e不在A(e)所依賴的假設(shè)中出現(xiàn)，那么按照UI，我們可以得到(v)A(v)。，A(v)是3中的公式，則($v)A(v)是合式公式。為此，作者先對(duì)原子句（atomic sentence）進(jìn)行了定義。其次，引入A名字（arbitrary name），標(biāo)記如下：a，b，c，……。設(shè)想在歐氏幾何中我們要證明“所有的三角形其內(nèi)角和都是180度”，我們會(huì)按如下步驟進(jìn)行：設(shè)ABC是一個(gè)三角形，然后畫出輔助線，并依據(jù)平行線公理，證得ABC內(nèi)角和是180度，然后得出結(jié)論“所有三角形其內(nèi)角和都是180度”。那么，這樣的任意三角形是什么？它屬于三角形的類嗎？一般而言，一個(gè)與某個(gè)類相關(guān)的任意對(duì)象是什么？在對(duì)這些問(wèn)題展開(kāi)討論以前，先介紹一個(gè)帶有A對(duì)象（arbitrary objects）的一階邏輯系統(tǒng)，以求對(duì)問(wèn)題有進(jìn)一步的了解。第五，引入存在量詞符號(hào)$。由此，可以歸納定義合式公式如下：基始條件：任何原子句都是合式公式。其中(x)即通常意義上的全稱量詞，($x)即通常意義上的存在量詞
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