a-對(duì)象在一階邏輯中的引入及其語義-文庫(kù)吧在線文庫(kù)
【正文】 。后面在對(duì)公式和推理進(jìn)行真和有效性的判斷時(shí)，Lemmon的這一系統(tǒng)特征會(huì)幫助我們理解合式公式的語義解釋。倘若不區(qū)分這兩者的本體論意義的不同，則引入A對(duì)象就失去了必要性和合理性。這樣一來，G1原則導(dǎo)致的問題就會(huì)消失，事實(shí)上這才是“通有屬性原則”的合適表達(dá)：只有所有個(gè)體共同具有的屬性，才被A對(duì)象所具有。例如，A對(duì)象有沒有范圍？A對(duì)象之間是否有同一性？A對(duì)象的基數(shù)是多少？其中，對(duì)第一個(gè)問題的回答是肯定的，A對(duì)象有其范圍。這里的同一性標(biāo)準(zhǔn)類似于代數(shù)中我們規(guī)定兩個(gè)函數(shù)f、g同一當(dāng)且僅當(dāng)：。＜是A對(duì)象之間的依賴關(guān)系。一個(gè)A模型M=(I，…，A，＜，V)若沒有其中的“…”則稱為一個(gè)A結(jié)構(gòu)（Astructure），一個(gè)A結(jié)構(gòu)如果沒有V則稱為一個(gè)A框架（Aframe）。特別地，當(dāng)B={a}，我們分別用[a]和|a|來表示[B]和|B|。6．在限制下保持封閉性（限制封閉性）（restriction）：V在限制下封閉。其中有如下幾個(gè)定義。這意味著，如果a是獨(dú)立的，則VR(a)是非空的，如果a是依賴的（dependent），則對(duì)于任何v∈V，存在i∈I使得v∪{(a,i)} ∈V。按照兩類A對(duì)象的不同，分別規(guī)定A對(duì)象的同一性如下：對(duì)于A中任意兩個(gè)獨(dú)立型A對(duì)象a、b，a=b如果VR(a)=VR(b)。一個(gè)c，d標(biāo)準(zhǔn)模型，如果c,d≥ω，就稱為標(biāo)準(zhǔn)模型（standard）。=(I,A,＜,V39。Th6 : 每個(gè)A框架(I,A,＜)的規(guī)則集U，都是某個(gè)A結(jié)構(gòu)F=(I,A,＜,V)的典范基本集。在上面Lemmon的系統(tǒng)中，與其他許多一階邏輯系統(tǒng)不同的是，該系統(tǒng)引入了A名字或者叫A字母。對(duì)于公式需要區(qū)分兩類真，一類是相對(duì)真公式（relatively true），一類是絕對(duì)真公式（absolutely true）。為了敘述的方便，下面再引進(jìn)一些記號(hào)。這樣我們規(guī)定：M╞v(Δ)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于每個(gè)定義涵蓋Δ的v（v∈V），M╞Δ。由于在新的語言下公式都不帶有自由變?cè)栽谶@個(gè)意義上，所有的公式都是語句（sentence）。經(jīng)過上面的一系列定義，我們有如下的結(jié)論：Lm 11: 如果L的一個(gè)句子φ是古典有效的，則它是一般有效的。若X只有一個(gè)元素M，我們就稱 (Δ,φ)在M下具有恒真有效性。和定義域?yàn)锽的賦值指派v39。與恒真有效性不同的是，在個(gè)例有效性下面，古典有效的推理仍然保持個(gè)例有效性。帶有一個(gè)自由變?cè)臄M公式集Δ可以被視為對(duì)一個(gè)A名字a的定義。給定一個(gè)定義(a,Δ)，和一個(gè)項(xiàng)t，令Δ(t)表示用t取代Δ中自由變?cè)獂的出現(xiàn)。給定一個(gè)定義系統(tǒng)S和S中的A名字a、b，稱a在S中直接依賴于b（a immediately depends upon b），如果在某個(gè)S里的定義中，a是被定義項(xiàng)，b是一個(gè)給定項(xiàng)。稱S是完備的（plete），如果每個(gè)S下的A名字都是S的一個(gè)被定義項(xiàng)。f(b)；2． 對(duì)于所有M上可能的賦值指派v，v∈V當(dāng)且僅當(dāng){f(a),i:a,i∈v}∈V39。這樣會(huì)得到一個(gè)新的定理：Th 19：令S是一個(gè)由在模型M下那些完全的定義構(gòu)成的完備系統(tǒng)，B是由S中A名字指定的A對(duì)象構(gòu)成的集合，則任何實(shí)現(xiàn)S的模型M都在集合B上可擴(kuò)展。接下來我們將借助上面提到的一些重要的定理和結(jié)論，來看如何用一般語義學(xué)對(duì)一階邏輯系統(tǒng)的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行證明。令v是M中一個(gè)可能的賦值指派，其定義域封閉，并且只定義在由S中的A名字指定的A對(duì)象集上。S中的A名字所指的A對(duì)象構(gòu)成一個(gè)集合C，則M39。＜39。此外，稱一個(gè)系統(tǒng)S是良基的，如果直接依賴關(guān)系的反面是良基的。稱一個(gè)由諸如(a,Δ)定義構(gòu)成的集合稱為一個(gè)定義系統(tǒng)S。我們稱在一個(gè)定義(a,Δ)中，Δ從用所有給定項(xiàng)對(duì)a進(jìn)行定義。因?yàn)橹庇^上看，滿足兩者的賦值指派v不一定相同，所以在個(gè)例有效下面，我們要保證蘊(yùn)涵的傳遞性，仍然需要借助于可擴(kuò)展性。這一定理非常重要，在后面用一般語義學(xué)對(duì)一階邏輯系統(tǒng)進(jìn)行分析時(shí)，會(huì)經(jīng)常用到。但其實(shí)這點(diǎn)在恒真有效下面并不一定實(shí)現(xiàn)。取一個(gè)有序?qū)?Δ,φ)為一個(gè)公式序列或者推理，其中Δ是L的一個(gè)語句集,φ是一個(gè)L的語句。符號(hào)簡(jiǎn)寫為╞Gφ。有如下引理：Lm 10: M是一個(gè)A模型，φ是L（注：不是L）的一個(gè)語句。并假定我們用v(φ)表示用v(a)來代替φ中的每一處A名字a的出現(xiàn)。我們稱φ在M中絕對(duì)真，如果對(duì)于任何v∈V和a1，…，an∈Dm(v) ，有M╞v φ。為方便起見，下面我們?nèi)匀挥胊，b，c來表示模型中的A對(duì)象，而用手寫體a，b，c來表示語法中的A名字。這一推論又導(dǎo)致如下兩個(gè)結(jié)果：Cr8 : 假定在引理7的條件下，每個(gè)函數(shù)f都是完全的。2. 如果u∈U，并且a∈Dm(u)，則u「[a] ∈U。稱一個(gè)賦值指派v∈V在一個(gè)A模型或者A結(jié)構(gòu)中是基本的（basic），如果Dm(v)=[a]對(duì)于某個(gè)a∈A。具體的規(guī)定如下：對(duì)于任一獨(dú)立型A對(duì)象a，至少存在基數(shù)為c的獨(dú)立型A對(duì)象b，使得VR(b)=VR(a)。對(duì)于獨(dú)立型A對(duì)象，我們規(guī)定如下（existence ind）：對(duì)于每個(gè)JI，存在一個(gè)獨(dú)立A對(duì)象a∈A使得VR(a)=J。并且定義域涵蓋B。那么v=∪v∈V。這一函數(shù)能表明給定B的賦值情況下，a可以取哪些值。一個(gè)A對(duì)象a∈A是依賴的(dependent)如果a＜b對(duì)某個(gè)b∈A，否則稱為獨(dú)立的。而一個(gè)任意的從A到I的偏函數(shù)則成為一個(gè)可能的賦值指派（a possible valueassignment）。四、A對(duì)象的語義解釋及擴(kuò)展后的語義模型給定一個(gè)一階語言L，包含謂詞符，還可能包括個(gè)體常項(xiàng)，函數(shù)符或等詞。例如，a、b是兩任意數(shù)字，且又有a=b,則在對(duì)a、b進(jìn)行賦值指派i、j時(shí)，i、j需要滿足i=j，且要保證同時(shí)指派（simultaneous assignment）；從這里我們也看到，兩個(gè)A對(duì)象a、b之間存在著一種平方關(guān)系R，a的取值范圍依賴于b的取值范圍。因此這里需要對(duì)G2再做出限制。若φ(x)是一個(gè)帶有變?cè)獂的某屬性，a是一A對(duì)象，i是在a代表的域之下的變?cè)?，則我們通常會(huì)認(rèn)為上述通有屬性原則應(yīng)這樣表達(dá)：φ(a)≡iφ(i)，不妨把這一表達(dá)式稱為G1，但是這種表達(dá)會(huì)帶來問題，例如，令Ex代表“x是偶數(shù)”這一謂詞，我們用一任意對(duì)象a來替代Ex中的x得到Ea，依據(jù)G1原則，有Ea≡iEi。數(shù)學(xué)推理中的經(jīng)驗(yàn)似乎告訴我們A對(duì)象是存在的，或弱一些說，我們?cè)?
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