復(fù)合函數(shù)概念精析(完整版)
【正文】 2k+1）≤ x ≤（2k+1）+,kZ.故函數(shù)y = f (sin x–cos x )的定義域是［2k+，2k+］［（2k+1），（2k+1）+］kZ. （3）已知復(fù)合函數(shù)的定義域，求外層函數(shù)的定義域。 求定義域 因?yàn)槎鄬訌?fù)合映射結(jié)構(gòu)復(fù)雜，使求復(fù)合函數(shù)定義域的題型形式多樣，現(xiàn)列舉主要題型如下。一般地，由y=f(u) , u=g(v) , v= (x)的復(fù)合過(guò)程可記為y=f(u)=f［g(v) ］=f{ g［ (x) ］}。據(jù)此，反思前面給出的定義，我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)定義是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?。設(shè)函數(shù)u=g(x)的定義域是D，值域是M。例如，復(fù)合函數(shù)y=sin 2x是自變量x先“乘2”（第一次映射），再“取正弦”（第二次映射），最后得到y(tǒng)關(guān)于x的一個(gè)函數(shù)sin 2x。f(x)177。復(fù)合函數(shù)概念精析藍(lán)田縣洩湖中學(xué)王錦鋒復(fù)合函數(shù)概念精析復(fù)合函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)深化函數(shù)概念，提高運(yùn)用函數(shù)思想解決數(shù)學(xué)問題能力的重要工具，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，也是歷屆高考?？疾凰サ臒狳c(diǎn)。b因此有人說(shuō)復(fù)合函數(shù)是函數(shù)的函數(shù)。再設(shè)y=f(u)的定義域是N，值域是R，則D、M、N、R都是非空的數(shù)集。它忽視了構(gòu)造復(fù)合函數(shù)y=f［g(x)］過(guò)程中各層子函數(shù)及它們復(fù)合后的整體都必須適合函數(shù)的定義。再看分拆。 （1）已知復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式，求復(fù)合函數(shù)的定義域。 實(shí)質(zhì)是從已知復(fù)合函數(shù)中x的取值范圍，求出這個(gè)復(fù)合函數(shù)的中間變量的范圍。例 已知函數(shù)f ( x ) =，求函數(shù)f［f(x)］的表達(dá)式。解：由已知用–x代換x，由于n為奇數(shù)，有a f(–x)+ f(x) = –bx 。解：∵x ∴＜sin x≤1.又∵ y=arc cos u是減函數(shù)。記為“內(nèi)奇外奇則奇”，“內(nèi)奇外偶則偶”。當(dāng)最內(nèi)層函數(shù)為周期函數(shù)時(shí)，復(fù)合函數(shù)必為周期函數(shù)，但最小正周期可能改變。解：y=(sinx+a)(cosx+a)=sinx cosx + a(sinx+cosx)+a=,令 t = sinx + cosx , 由sinx + cosx = sin(x+) 知 |t|≤,∴y = + at + a=(t + a)+ (a1),當(dāng)t=a時(shí)，y=(a1),當(dāng)t=時(shí)，y=a+a + 。例1 求函數(shù)y = 2 arctan ( 2x )的反函數(shù)。 （1）f(x)與f(x)的區(qū)別。例1已知函數(shù)y=f(x)的圖像過(guò)點(diǎn)(0,1)，則函數(shù)y= f(x+4)的圖像過(guò)點(diǎn)( )。正解：因y=f(x)的圖像過(guò)點(diǎn)(0,1)，故y= f(x)的圖像應(yīng)過(guò)點(diǎn)(1,0)，又y=f(x+4)的圖像可由y=f(x)的圖像向左平移4個(gè)單位得到，所以y= f(x+4)的圖像應(yīng)由y= f(x)的圖像向左平移4個(gè)單位得到，故y= f(x+4)必過(guò)點(diǎn)(3,0)。 （2）y=f［g(x)］與y=g［f(x)］的區(qū)別。 三、復(fù)合函數(shù)的圖像 作復(fù)合函數(shù)的圖像一般都比較繁雜，這里僅介紹用圖像變換法作復(fù)合函數(shù)的圖像。 先由復(fù)合函數(shù)求得原函數(shù)，再求原函數(shù)的最值。 （2）當(dāng)內(nèi)層函數(shù)無(wú)周期性，外層函數(shù)有周期性時(shí)，應(yīng)由周期函數(shù)的定義判斷。但若其中某層中間變量沒有單調(diào)性時(shí)，則復(fù)合函數(shù)無(wú)單調(diào)性。 判斷函數(shù)奇偶性 通法是根據(jù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷。 （4）已知復(fù)合函數(shù)，求與外層函數(shù)映射法則相同的另一復(fù)合函數(shù)。 關(guān)鍵是溝通中間變量與復(fù)合函數(shù)表達(dá)式間的映射關(guān)系，找到原函數(shù)用中間變量的整體作自變量的映射法則，常用配湊法，換元法，待定系數(shù)法等。例已知函數(shù)y = f ()的定義域是［100,1000］，求函數(shù)y = f (x ) 的定義域。例 函數(shù)y=的定義域。上述多次令中間變量進(jìn)行的代換，叫做連續(xù)代換或鎖鏈
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