拉格朗日中值定理證明中輔助函數的構造及應用(完整版)
【正文】 (1)在閉區(qū)間上連續(xù)； (2)在開區(qū)間內可導； (3)，則在內至少存在一點，使得=0圖1(Larange)中值定理若函數滿足： (1)在閉區(qū)間上連續(xù)； (2)在開區(qū)間內可導； 則在內至少存在一點，使得 =圖22 拉格朗日中值定理的證明中輔助函數構造的方法 拉格朗日中值定理的條件與羅爾中值定理的條件相比較，可以構建一個新的函數（要滿足的條件：與有關），即把問題轉化為滿足羅爾定理的條件，是曲線在上兩端點連線的斜率，則弦方程為： 用曲線的縱坐標之差作輔助函數： （1）即符合Rolle定理的條件. 證明：作輔助函數 顯然,，使得 移項后及得 另外，也可以用原點與曲線在上兩端點的連線AB平行的直線OL代替弦AB，而直線OL的方程為. 因此,用曲線的縱坐標與直線OL的總坐標之差，得到另一輔助函數： （2）可以驗證在上滿足羅爾中值定理條件，具體證明同上. 用行列式構造輔助函數 行列式不僅是高等代數中最基本工具，具有很強的操作性. 而且在數學分析中葉也很廣泛地應用. 這樣就有機的將一個函數用行列式表示出來了，大大簡化了數學分析繁雜的證明過程.證明：構造輔助函數 常見函數在閉區(qū)間上是連續(xù)的（由連續(xù)函數的判定條件），在開區(qū)間內是可微的，并且，同理可得： ==即函數在區(qū)間上滿足羅爾定理的第三個條件，于是又由羅爾定理， 而對求導 即 . 區(qū)間套定理是數學分析中的一個重要的定理，它同聚點定理、有限覆蓋定理、確界原理、數列的單調有界定理和柯西收斂準則一樣反映了實數的完備性，也是學習實變函數、復變函數、現就利用閉區(qū)間套構造性證明拉格朗日中值定理.證明：設函數圖形的兩個端點分別為和(如圖2).如果線段和曲線所圍成的閉區(qū)域不是凸集（凸集即在區(qū)域內任意兩點連線均在此區(qū)域內）則截取線段的一部分平行線段與一部分曲線圍成的凸集（目的是保證以后所構造的區(qū)間構成閉區(qū)間套），（最長平行線段），與所取凸集的兩個交點的橫坐標分別為、則（圖2中），其斜率均為 設這些直線段與區(qū)域邊界曲線的坐標分別為這些坐標構成的區(qū)間上又滿足 且 即可得 定理得證 借助待定系數法構造輔助函數借助待定系數法也可以構造一個新的輔助函數（要與有關），使它滿足羅爾定理的條件三（即在兩端點的函數值相等的條件）.設為待定系數，令 要使 則需要 即 所以，可做輔助函數為 得到與（2）式一樣的輔助函數證明：作輔助函數 經檢驗， ，
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