拉格朗日中值定理證明中輔助函數(shù)的構(gòu)造及應(yīng)用-全文預(yù)覽
【正文】 （3） 當(dāng)時(shí)， ，代入（1）式，即得 于是有 ， 當(dāng)（3）式 例2 設(shè)在上可微，且存在實(shí)數(shù)A0，使得在上，試證明在上恒有.證明：取使,由拉格朗日中值定理： 進(jìn)而 一般地 這里 取 ，則當(dāng)時(shí)，有 易見： 時(shí)，有 然后在 上重復(fù)以 上步驟，得 時(shí)，重復(fù)以上步驟即得在 在恒有例3 證明：當(dāng)，為正整數(shù)時(shí)，有不等式 分析：注意到 應(yīng)用拉格朗日中值定理.證明：函數(shù)在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理的條件，故有 （4）因 ，在 內(nèi)單調(diào)遞減，又 有 ， 所以 （5） 由 （4）式得 （6） 結(jié)合（5）式和（6）式 即可以得到 若在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則在上（若在與之間），這可視為函數(shù)的一種變形，它建立了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，我們可以用它來研究有關(guān)函數(shù)性態(tài)，如函數(shù)的一致連續(xù)、單調(diào)性等.例4 證明如果在上可導(dǎo)，且，有, 其中為常數(shù)，則在上一致連續(xù).證明： ， 在以為端點(diǎn)的區(qū)間上，有 介于之間 在利用已知條件，有 即 在 上滿足Lipschitz條件， 則在上一致連續(xù)。另外，在校圖書館查找資料的時(shí)候，圖書館的老師也給我提供了很多方面的支持與幫助。 二要認(rèn)真分析, 巧妙構(gòu)造輔助函數(shù), 抓住這兩點(diǎn)一般會(huì)簡(jiǎn)單解決問題.例6 設(shè)函數(shù)滿足：（1）在 的某鄰域內(nèi)連續(xù)；（2）在內(nèi)可導(dǎo)；（3）.則在可導(dǎo)，且證明：先對(duì)在上應(yīng)用拉格朗日中值定理，有 ， 從而有 由 ， 故 同理可證 從而有 此結(jié)論說明了，若有限導(dǎo)數(shù)在某區(qū)間存在，則在區(qū)間的每一點(diǎn)處，它或是連續(xù)，或是有第二類間斷點(diǎn).例7 已知 求 . 解：設(shè)， 對(duì)在 上函數(shù) 符合拉格朗日中值定理的條件， 故可以應(yīng)用得： ， 故 當(dāng) 時(shí)，共有不等式，將上面這不等式相加得： ,即 從而 由極限存在準(zhǔn)則知 拉格朗日中值定理在方程根的存在性方面的應(yīng)用例8 設(shè)在可導(dǎo)，且對(duì)任何，都有 ，又，試證明在內(nèi)，方程有唯一實(shí)根. 證明：（存在性）令在 利用零點(diǎn)定理易證. （唯一性）反證法，假設(shè)有兩個(gè)實(shí)根，使得 不妨設(shè) 在 上對(duì)應(yīng)用拉格朗日中值定理，有 這與矛盾， 故結(jié)論得證.
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