數(shù)值分析楊大地-答案(第八章)(完整版)
【正文】 1f1+A2f13+A3f(13)解：令f(x)=1,x,x2代入有,【注：本例中需求解AAA3共3個(gè)未知量，故需3個(gè)相異求積節(jié)點(diǎn)f(x)】A1+A2+A3=11=2A11+A213+A313=121212=0A112+A2132+A3132=131313=23求解得A1=12，A2=0，A3=32，∴求積公式為： 11f(x)dx≈12f1+32f(13)∵ 該求積公式對(duì)3個(gè)相異節(jié)點(diǎn)1,x,x2均有余項(xiàng)Ef=0，//注：∴ 該求積公式至少具有2次代數(shù)精度。令f(x)= x4帶入求積公式有，h20+h4+h21204h3=16h5，與f(x)= x5的定積分計(jì)算值15h5不相等，所以，此求積公式的最高代數(shù)精度為3次代數(shù)精度?！咀ⅲ旱?空，】（2）梯形公式有 1 次代數(shù)精度，Simpson公司有 3 次代數(shù)精度?！?積分公式為：0hf(x)dx≈h2f0+fh+h212f39。令f(x)= x4，代入求積公式有：43hh4+13h2h4=203h5∵函數(shù)f(x) = x4的定積分結(jié)果為02hx4dx=152h505=325h5，與求積公式計(jì)算值不相等，∴該求積公式的最高代數(shù)精度為3次代數(shù)精度。令f(x)= x3，代入求積公式有：1333+1+333=1424—04=4 ∵函數(shù)f(x) = x4的積分結(jié)果為：02x3dx=1424—04=4 ，與求積公式計(jì)算值相等，∴該求積公式具有3次代數(shù)精度。（1）2π01ex2dx ,精度要求ε=105解：由題，設(shè)f(x)=2πex2按照Romberg積分法求解：在[a,b]上，由梯形公式計(jì)算有∵ T00=ba2fa+f(b)=12f0+f(1)= U00=baf(a+b2)=f(12)= ∴ T01=12T00+U00= T10=4T01T0041=∵ T10T00=ε ，不滿足停止條件，需繼續(xù)計(jì)算；按公式U0，i1=ba2i1j=12i1fa+2j1ba2i、T0i=12T0，i1+U0,i1 和Tmk=4mTm1,k+1Tm1,k4m1,m=1,2,…,i,k=im 進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)Ti0Ti1，0ε時(shí)停止計(jì)算，則有： U01=12f14+f(34)= T02=12T01+U01= T11=4T02T0141= T20=42T11T10421=
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