伴隨矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用(完整版)
【正文】 的問題得到解決，伴隨矩陣的性質(zhì)和應(yīng)用有著與眾不同的特點(diǎn)。反之，當(dāng)秩=n時(shí)，可逆時(shí)，則有存在，所以 =,有0，因A=0，從而=0，這與秩=矛盾，所以0，于是秩（A）=；（2）當(dāng)秩（A）=時(shí)，則A必有一個(gè)階子式不為0，即中至少有一個(gè)元素不為0，所以，秩（），另外秩（A）=.則=0，于是，從而，秩（A）+秩（）反之，若秩（）=1，則中必有一個(gè)，即是說必有一個(gè)階子式不為零，故秩但不能有秩（A）=，否則，有秩=，而這樣與秩矛盾，所以秩（A），則（A），因此,秩（A）=.（3）當(dāng)秩（A）時(shí)，則A中一切階子式均為0，于是一切所以，這時(shí)有秩反之，若秩則亦即A的一切階子式為0，所以秩（A）.該性質(zhì)可以用來求A的伴隨矩陣的秩，A的秩可以直接求出，通過A的秩可以直接求出A的伴隨矩陣..性質(zhì)5.=，其中A是n階方陣（n2）.證明：若0， AA=E， ===若=0，這時(shí)秩A1，=0，而也有=綜合得=.，.證明：用反證法，若令一方面，設(shè)A====0 （2）由（2）式主對(duì)角元素均等于0，可得此即A=0，這與非零矩陣的假設(shè)矛盾，.條件A是實(shí)方陣中“實(shí)”字不能少，否則，比如設(shè)A=則性質(zhì)7. 令A(yù),B為n階矩陣，則（1）A對(duì)稱（2）A正交 （3）若A與B等價(jià)，則（4）若A與B相似，則（5）若A與B合同，則（6）A=B；（7）A正定（8）A為可逆矩陣（9）如果A是可逆矩陣，那么A為反對(duì)稱證明：這里只證（1），（2），其余的這里就不再證明了。 (2) 因
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