不等式的證明方法畢業(yè)論文(完整版)
【正文】 ，求證：.證明 （1）當(dāng)時(shí)，不等式成立；（2）若時(shí)，成立，則=，即成立.根據(jù)（1）、（2），對(duì)于大于1的自然數(shù)都成立. 構(gòu)造解析幾何模型證明不等式 如果不等式兩邊可以通過某種方式與圖形建立聯(lián)系，則可根據(jù)已知式的結(jié)構(gòu)挖掘出它的幾何背景，通過構(gòu)造解析幾何模型，化數(shù)為形，利用數(shù)學(xué)模型的直觀性，將不等式表達(dá)的抽象數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形加以解決． 例13 設(shè)a＞0，b＞0，a＋b = 1，求證：＋≤2yxx＋y = 02ABDCO證明：所證不等式變形為：≤2這可認(rèn)為是點(diǎn)A()到直線 x＋y = 0的距離．但因()＋()= 4，故點(diǎn)A在圓x＋y= 4 (x＞0，y＞0)上．如圖所示，AD⊥BC，半徑AO＞AD，即有：≤2，所以＋≤2 判別式法[9]通過構(gòu)造一元二次方程，利用關(guān)于某一變?cè)亩稳?xiàng)式有實(shí)根時(shí)判別式的取值范圍，來證明所要證明的不等式.例11 設(shè)，且，求證：.證明 設(shè)，則代入中得 ，即 因?yàn)?，所以? 即 ，解得 ，故. 標(biāo)準(zhǔn)化法[10]形如的函數(shù)，其中，且為常數(shù)，則當(dāng)?shù)闹抵g越接近時(shí)，的值越大（或不變）；當(dāng)時(shí)，取最大值，即.標(biāo)準(zhǔn)化定理：當(dāng)為常數(shù)時(shí)，有.證明：記，則, 求導(dǎo)得 ，由得 ，即.又由 ,知的極大值點(diǎn)必在時(shí)取得.由于當(dāng)時(shí)，故得不等式.同理，可推廣到關(guān)于個(gè)變?cè)那樾?例12 設(shè)為三角形的三內(nèi)角，求證：.證明 由標(biāo)準(zhǔn)化定理得，當(dāng)時(shí)， ， 取最大值，故 . 分解法按照一定的法則，把一個(gè)數(shù)或式分解為幾個(gè)數(shù)或式，使復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單易解的基本問題，以便分而治之，各個(gè)擊破，從而達(dá)到證明不等式的目的.例12 ，且，求證：證明：因?yàn)?所以 3 利用函數(shù)證明不等式 利用函數(shù)單調(diào)性函數(shù)單調(diào)性本身就是不等式，此方法的關(guān)鍵是把要證明的不等式分中值定理來證明，其關(guān)鍵是構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)，然后利用公式證明。定義2?設(shè) 在區(qū)間，上連續(xù)，如果對(duì)上任意兩點(diǎn) 恒有那么稱 在上是凸函數(shù)。設(shè)則由定理2有而所以： 故 利用中值定理微分中值定理將函數(shù)與導(dǎo)數(shù)有機(jī)地聯(lián)系起來，如果所求證的不等式經(jīng)過簡(jiǎn)單變形后，與微分中值定理的結(jié)構(gòu)有相似性，就可以考慮利用微分中值定理來證明，其關(guān)鍵是構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)，然后利用公式證明。探索了解不等式的證明過程，發(fā)覺不等式背后蘊(yùn)含的更深一步的結(jié)論，發(fā)揮創(chuàng)造性思維，在日后的教育教學(xué)過程中，將加深學(xué)生對(duì)不等式證明乃至對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的理解。從而系統(tǒng)的掌握好不等式的性質(zhì)，是解決不等式證明問題的基礎(chǔ)。拉格朗日中值定理：設(shè)滿足：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則有一點(diǎn)使得 例 若，即，證：證明： 令，顯然在[]區(qū)間上，根據(jù)拉格朗日中值定理有 =，因?yàn)? ， 有 即 證明不等式：。定理2 設(shè)函數(shù)為定義在上的凹函數(shù)，若 ，,且那么有不等式 成立。例1 證明不等式證明：設(shè)則。例 已知，求證明 因?yàn)槌闪ⅲ? 所以 =有成立。本題通過化簡(jiǎn)整理之后，再利用基本不
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