【正文】 4 ． ( 2 0 1 8 從 A 到B 只有路 AB︵， 一部分市民為走 “ 捷徑 ” ， 踩壞了花草 ， 走出了一條小路 A B ． 通過計算可知 ， 這些市民其實僅僅少走了 步 ( 假設(shè) 1 步為 m ，結(jié)果保留整數(shù) ) ． ( 參考數(shù)據(jù)： 3 ≈ ， π 取 ) 【解析】 如圖 ， 過點 O 作 OC ⊥ AB ， 則 AC ＝12A B ． ∵∠ A O B＝ 120 176。 β 120 176。 猜想： β 關(guān)于 α 的函數(shù)表達式 ， γ 關(guān)于 α 的函數(shù)表達式 ， 并給出證明； 解： 猜想： β ＝ α ＋ 90 176。 .∵ D 是 BC 的中點 ， DE ⊥ BC ， ∴ OE是線段 BC 的垂直平分線 ， ∴ BE ＝ CE ， ∠ BED ＝ ∠ CED ， ∠ E D C ＝ 90 176。 ， β ＝135 176。 的圓周角所對的弦是 直徑 ． 推論 2 ： 在同圓或等圓中 ， 同弧或等弧所對的圓周角 相等 ；相等的圓周角所對的弧也 相等 ． 溫馨提示 : 1 ． 圓周角定理的意義在于把圓周角和圓心角這兩類不同的角聯(lián)系在一起 ． 2 ． 同一條弧所對的圓周角相等；同一條弦所對的圓周角相等或互補 ． 3 ． 當已知條件中有直徑時 ， 常常作直徑所對的圓周角 ， 這是圓中常添加的輔助線 ． 考點五 圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理 1 ． 圓內(nèi)接四邊形 如果一個四邊形的各個頂點在同一個圓上 ， 那么這個四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形 ， 這個圓叫做四邊形的外接圓． 2 ． 性質(zhì)定理 1 ： 圓內(nèi)接四邊形 的對角 互補 ． 3 ． 性質(zhì)定理 2 ： 圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的 內(nèi)對角 ． 如圖 ， 四邊形 ABCD 內(nèi)接于 ⊙ O ， 則 ∠ A ＋ ∠ BCD ＝ ∠ B ＋ ∠ D＝ 1 8 0 176。 C ． 68 176。溫州 ) 如圖 ， 在 △ ABC 中 ，∠ C ＝ 90 176。 C ． 72 176。 C ． 50 176。則 ∠ B O D 的度數(shù)是 ( B ) A ． 80 176。 ， OE＝ 1 ， OC ＝ 4 ， ∴ CE ＝ OC2－ OE2＝ 15 ， ∴ CD ＝ 2 CE ＝ 2 15 .故選 C ． 答案： C 5 ．如圖 ， 半徑為 5 的 ⊙ A 中 ， 弦 BC ， ED 所對的圓心角分別是 ∠ BAC ， ∠ EAD ． 已知 DE ＝ 6 ， ∠ BAC ＋ ∠ EAD ＝ 180 176。 ＋ α D ． 90 176。嘉興、舟山 ) 如圖 ， 量角器的 0 度刻度線為 AB ， 將一矩形直尺與量角器部分重疊 ， 使直尺一邊與量角器相切于點 C ，直尺另一邊交量角器于點 A ， D ， 量得 AD ＝ 10 cm ， 點 D 在量角器上的讀數(shù)為 60 176。 點 B 為劣弧 A N︵的中點 ， P 是直徑 M N 上的一動點 ，則 PA ＋ PB 的最小值為 ( ) A ． 2 B ． 1 C ． 2 D ． 2 2 【解析】 如圖 ， 作點 A 關(guān)于 M N 的對稱點 A ′， 連結(jié) A ′ B ， 交M N 于點 P ， PA ＝ PA ′ ， 此時 A ′ ， P ， B 三點共線 ， PA ＋ PB 的值最小 ， 連結(jié) OA ′， O B ． ∵∠ AM N ＝ 30 176。 則 ∠ CAD 的度數(shù)為 ( ) A ． 68 176。 求 ∠ CAD 的度數(shù)； 解： ∵ OD ∥ BC ， ∠ B ＝ 70 176。紹興柯橋區(qū)模擬 ) 如圖 ， ⊙ O 是 △ ABC 的外接圓 ，弦 BD 交 AC 于點 E ， 連結(jié) CD ， 且 AE ＝ DE ， BC ＝ CE . ( 1 ) 求 ∠ ACB 的度數(shù)； 解： 在 ⊙ O 中 ， ∵∠ A ＝ ∠ D , ∠ A EB ＝ ∠ D E C ， AE ＝ DE ， ∴△ AEB ≌△ D E C ， ∴ EB ＝ E C ． 又 ∵ BC ＝ CE ， ∴△ EBC 是等邊三角形 ， ∴∠ ACB ＝ 60 176。 ， ∴∠ E G F ＝ 30 176。 . 又 ∵ OA ＝ OD ， ∴∠ D A O ＝ ∠ A D O ＝ 55 176。 C ． 9 0 176。 .又 ∵ 點 A 關(guān)于 M N 的對稱點為 A ′ ， ∴∠ A ′ O N ＝ 2 ∠ AM N ＝ 60 176。 . 7 ． ( 2 0 1 8 ，則 ∠ CAB 的度數(shù)為 ( C ) A ． 35 176。 ， 而 ∠ BAC ＋∠ B A F ＝ 180 176。 C ． 100 176。 2. 如圖 ，在 ⊙ O 中 ， OC ⊥ AB ， ∠ A D C ＝ 32 176。 考點四 圓的性質(zhì)的應(yīng)用 將一盛有不足半杯水的圓柱形玻璃水杯擰緊杯蓋后放倒 ， 水平放置在桌面上．水杯的底面如圖所示 ， 已知水杯內(nèi)徑 ( 圖中小圓的直徑 ) 是 8 cm ， 水的最大深度是 2 cm ， 則杯底有水部分的面積 是 ( ) A ．????163π － 4 3 cm2 B ．????163π － 8 3 cm2 C ．????83π － 4 3 cm2 D ．????43π － 2 3 cm2 【思路點撥】 利用垂徑定理構(gòu)造直角三角形 ， 然后解直角三角形 ， 求出相關(guān)長度和角度 ， 再用 對應(yīng)扇形的面積減三角形面積即得有水部分的面積 ． 【自主解答】 【解析】 如圖 ， 設(shè)水面與小圓的兩個交點為A 和 B ， 連結(jié) OA ， OB ， 過點 O 作 OC ⊥ AB 交AB 于點 D ． ∵ 小圓的直徑是 8 cm ， ∴ OA ＝ OB＝ OC ＝ 4( cm ) ， ∴ OD ＝ 4 － 2 ＝ 2( cm ) ， ∴ AD ＝42－ 22＝ 2 3 ( cm ) ， ∴ AB ＝ 2 AD ＝ 4 3 ( cm ) ． 在 Rt △ A O D 中 ， cos ∠ A O D ＝ODAO＝24＝12， ∴∠ A O D ＝ 60 176。 ， 再由 E 是 AB 的中點 ， 可得 DA ＝ DB ， 從 而得出 ∠ 1 ＝ ∠ B ；再由圓周角定理得出 ∠ B ＝ ∠ F ， 等量代換即可得證 ． ( 2 ) 由 AE ＝EF ＝ 2 5 ， 得出 AB ＝ 4 5 ；在 Rt △ ABC 中 ， 由銳角三角函數(shù)的定義求出 AC 的長 ， 再由勾股定理求出 BC 的長；設(shè) CD ＝ x ， 用含有 x 的式子表示 BD ， AD 的長 ， 在 Rt △ ACD 中 ， 利用勾股定理列出方程求解 ． （ 1 ） 證明： 如圖 ， 連結(jié) DE . ∵ BD 是 ⊙ O 的直徑 ， ∴∠ D E B ＝ 90 176。 【思 路點撥】 根據(jù)在等圓中 ， 等弧所對 的圓心角相等 ， 可求出 ∠ B O E 的度數(shù) ， 進而求出 ∠ A O E 的度數(shù) ． 然后在 △ A O E 中 ，利用三角形內(nèi)角和求出 ∠ AEO 的度數(shù) ． 如圖 ， AB︵是半圓 ， O 為 AB 的中點 ， C ， D 兩點在 AB︵上 ， 且 AD ∥ OC ， 連結(jié) BC ， BD ， 若 CD︵＝ 62 17