【正文】 線性代數部分的核心內容，相比之下，前兩章行列式和矩陣可視作是為了討論向量和線性方程組部分的問題而做鋪墊的基礎性章節(jié)，后兩章特征值、特征向量、二次型的內容則相對獨立， 可以看作是對第三、四章核心內容的擴展。r(A)=n”，依靠這一性質建立起了線性無關和矩陣秩兩個知識點間的聯系。所以我們在復習線代的策略中，有必要考慮一下怎樣才能做到“融會貫通”。這一部分在歷年真題中直接考到的情況很少，但卻經常涉及，尤其是在關于曲線、曲面積分的題中，一般都需要將曲線、曲面積分轉化為重積分來計算結果。相似一元復合函數求導公式如上格所示，與多元復合函數求導公式相似，只需分清式子中與的不同即可多元隱函數微分法求由方程確定的隱含數的偏導數，可用公式：，對于由方程組確定的隱含數、可套用方程組一元復合函數、參數方程微分法對一元隱函數求導常采用兩種方法：，在方程兩邊同時對求導一元參數方程微分法：若有則關于這一部分，多元與一元的聯系不僅是“形似”，而且在相當大程度上是相通的，在考研真題中此處與上面的多元復合函數求導是本章的兩個出題熱點，屢屢出現相關題目，在后面的評題中有更多討論。如果沿不同路徑的不相等，則可斷定不存在。直線方程的參數形式（是平面上已知點，為方向矢量）可變形為，即為標準式；標準式若變形為則也可以轉化為參數形式。舉例來說，設直線，直線，則二直線夾角，其中、分別是兩條直線的方向矢量。 高數第九章《矢量代數與空間解析幾何》本章并不算很難，但其中有大量的公式需要記憶，故如何減少記憶量是復習本章時需要重點考慮的問題。對于數項級數求和的題目，主要方法是構造冪級數法，即利用變換求得冪級數的和函數以后代入極限式即可。這一部分的基本式是公式4：與之相比，的展開式是，的展開式是。這種規(guī)律是建立在對6個關鍵的函數展開式“熟之又熟”的掌握上的。關鍵步驟是：由得到，再利用比較判斂法的一般形式即得。陳文燈復習指南上對相關章節(jié)的指導并不盡如人意，因為套題型的方法在這些復雜章節(jié)中不能展現其長處，故整體來說結構比較散亂。該核心式可以想象成是將薄球展開、攤平得到一個薄面以后再用底面積乘高得到的。 對 積分可得 。其中，A是判斷函數凸凹性的充要條件，根據導數定義，是的變化率，是的變化率。 高數第七章《一元微積分的應用》本章包括導數應用與定積分應用兩部分，其中導數應用在大題中出現較少，而且一般不是題目的考察重點；而定積分的應用在歷年真題的大題中經常出現，常與常微分方程結合。這一部分結構清晰，對于各種方程的通式必須牢記，還要能夠對易混淆的題目做出準確判斷。我們需要做的就是靠足量、高效的練習來透徹掌握定理性質及熟練運用各種變形轉換技巧，從而達到大綱的相應要求，提高實戰(zhàn)條件下解題的勝算。其中的規(guī)律性很明顯，甚至可以以表格的形式表示出來。從反方向入手證明時也會遇到同樣的問題。在處理完積分上下限的問題后就使用第三章不定積分的套路化方法求解。2011考研必備：超經典的考研數學考點與題型歸類分析總結1高數部分 高數第一章《函數、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向：；，對于型和型的題目直接用洛必達法則，對于、型的題目則是先轉化為型或型，再使用洛比達法則；，包括；。這種思路對于證明定積分等式的題目也同樣有效。通過對這個模型的分析可以看出，對可用知識點掌握的不牢固、不熟練和無法有效地從眾多解題思路中找出答案是我們解決不了證明題的兩大原因。下表列出了中值定理證明問題的幾種類型：條件欲證結論可用定理A關于閉區(qū)間上的連續(xù)函數，常常是只有連續(xù)性已知存在一個滿足某個式子介值定理（結論部分為：存在一個使得）零值定理（結論部分為：存在一個使得）B條件包括函數在閉區(qū)間上連續(xù)、在開區(qū)間上可導存在一個滿足費爾馬定理（結論部分為： ）洛爾定理（結論部分為：存在一個使得）C條件包括函數在閉區(qū)間上連續(xù)、在開區(qū)間上可導存在一個滿足拉格朗日中值定理（結論部分為：存在一個使得）柯西中值定理（結論部分為：存在一個使得）另外還常利用構造輔助函數法，轉化為可用費爾馬或洛爾定理的形式來證明從上表中可以發(fā)現，有關中值定理證明的證明題條件一般比較薄弱，如表格中B、C的條件是一樣的，同時A也只多了一條“可導性”而已；所以在面對這一部分的題目時，如果把與證結論與可能用到的幾個定理的的結論作一比較，會比從題目條件上挖掘信息更容易找到入手處。依我看，最大的技巧就是不依賴技巧，做題的問題必須要靠做題來解決。各種類型都有自己對應的格式化解題方法，這些方法死記硬背并不容易，但有規(guī)律可循——這些方法最后的目的都是統一的，就是把以各種形式出現的方程都化為f(x)dx=f(y)dy這樣的形式，再積分得到答案。典型的構題方式是利用變區(qū)間上的面積、體積或弧長引出積分方程，一般需要把積分方程中的變上限積分單獨分離到方程的一端形成“＝∽”的形式，在兩邊求導得到微分方程后套用相關方程的對應解法求解。可以說明函數是增函數，典型圖像是； 可以說明函數的變化率在區(qū)間I上是遞減的，包括以下兩種可能：，且隨變大而變小（大小關系可參考圖3）；，隨變大而變小（大小關系可參考圖3）；同樣，也只有兩種對應圖像：，隨著變大而變大；，隨變大而變大。在這個例子中，體現微元法特色的地方在于：，但卻用來表示；；。由于很小，故可認為薄球內質量均勻，為，則薄球質量，積分可得結果。對于級數判斂部分，主要用的方法是比較法、級數斂散性的定義和四則運算性質。對于使用比較判斂法極限形式的題目一般也不會超出“知一判一”和“知性質判斂”這兩種形式。對此6個展開式的掌握必須像掌握重要定理一樣，對條件、等式的左端和右端都要牢牢記住，不但要一見到三者中的任意一個就能立刻寫出其他兩部分，而且要能夠區(qū)別相似公式，將出錯概率降到最小。一個可看成是將展開式中的奇數項變成交錯級數得到的，一個可看成是將展開式中的偶數項變成交錯級數而得到。其中的關鍵步驟是選擇適當的，一般情況下如果、這樣的項在分子中，則應該先用逐項積分再用逐項求導，此時的應為的形式，如、以方便先積分；若題目有、這樣的項，則應為的形式，如、便于先求導。抓住本章前后知識點的聯系來復習是一種有效的策略，因為這樣做既可以避免重復記憶、減少記憶量，又可以保證記憶的準確性。對于線面、面面夾角同樣適用，只需注意一點就是線面夾角公式中不是而是，因為如右圖所示由于直線的方向矢量與直線的走向平行，而平面的法矢量卻與平面垂直，所以線面夾角是兩矢量夾角的余角，即，故求夾角公式的左端是。這個轉化在歷年真題中應用過不止一次。不同一元函數的連續(xù)性及極限：一元函數的極限與路徑無關，由等價式即可判斷。多元函數的極值極值定義：函數在點的鄰域內有定義，且對于其中異于點的任一點，恒有或，則稱為的極小/大值，方程組的解稱為函數的駐點。關于二重積分的性質，可以結合二重積分的幾何意義和定積分的對應性質來理解，因為理解幾何意義有利于解應用性問題，而且定積分和二重積分的性質定理幾乎是一一對應的，對比起來很直觀?！叭跁笨梢岳斫鉃樵O法找到不同知識點之間的內在相通之處；“貫通”可以理解為掌握前后知識點之間的順承關系。以上簡單分析了一下線代這門課本身的特點，在下面的小結中列出了對每章中一些具體知識點內在聯系的分析和實戰(zhàn)過程中發(fā)現的一些常用的和好用的性質，作為對具體知識點的討論。向量與線性方程組兩章的內容聯系很密切，很多知識點相互之間都有或明或暗的相關性。當齊次線性方程組有唯一零解時，是指等式中的只能全為0才能使等式成立，而第三章向量部分中判斷向量組是否線性相關\無關也正是由這個等式定義出的。所以，經過“秩—〉線性相關\無關—〉線性方程組解的判定”的邏輯鏈條，由就可以判定齊次方程組只有0解。這一點也正好印證了一個重要定理：“若線性無關，而線性相關，則向量可由向量組線性表示，且表示方法唯一”。b. 向量組線性相關243。可由克萊姆法則判斷有唯一解，而僅有零解。 另外，線性代數部分在考試時會經常直接考一些“雖不要求掌握、但卻可以用要求掌握的一些定理推論推導出來”的性質和結論，所以有必要擴大一些知識面，說不定在考試時就會有意外收獲：1. 一個線性無關的向量組不可能由一個所含向量個數比它少的向量組線性表示。從我們的角度來看，《特征值特征向量》這一章的內容即少且條理清晰，雖然涉及其它很多知識，但需要探究的深層次聯系很少，故學好這個“必考點”實際上要比學好高數中的那些必考點如曲線、曲面積分要容易的多，這一點也是前面說復習線代這門課很劃算的原因之一。3. 矩陣可相似對角化的條件。以上思路在本章的地位并不重要，因為與第三、四章知識點的互聯關系不同，考試時這條思路一般不會被用到。但與線代一樣，概率也常常被忽視，有時甚至被忽略。雖然對于本章中的古典概型可以出很難的題目，但大綱的要求并不高，考試時難題很少。這三個公式的含義從直觀上就能理解：公式（1）表示事件、同時發(fā)生的概率等于發(fā)生的概率減去發(fā)生而不發(fā)生的概率；（2）式表示事件、同時發(fā)生的概率等于發(fā)生的概率乘以在發(fā)生的條件下也發(fā)生的概率；當、相互獨立時，也就是指事件與事件的發(fā)生互不影響，此時應該有、所以由（2）式即可得出（3）式。也就是“一維和二維相聯系、離散和連續(xù)相對比、隨機變量分布和隨機變量函數的分布相區(qū)別”。這三個“了解”在歷年真題中的體現就是本章內容幾乎是不考的，只出現過直接考察公式定義的小題。通過以上的分析可以減少一些死記硬背的難度。分析理解一下概率論和數理統計的前后聯系可以起到“在大腦中進行數據壓縮”的作用，而且這兩部分的題目應該可以相互結合，從近年來的真題中可以隱隱約約感受到這種趨勢。1. 4本題主考的是公式，同時很自然地考到了多元函數求偏導。1. 5 各行元素之和均等于零的矩陣屬于特殊矩陣，做過一個這樣的題后如再見到“矩陣各行元素質和均為零”就會想到對應齊次方程有解。3. 5 在秩的部分多記一些性質、結論有時會很方便，比如本題用“”可迅速求解。所以我們在做題時必須要有變形的意識，并不斷在做題中積累經驗。十一. 這個題考查了期望、方差、協方差和隨機變量獨立性的判定，考查面很廣。1. 5本題題眼在于等于常數這一性質，同類性質我有一個小總結：，向量是n維列向量，則得到一個常數，簡稱“橫豎數”；b. 條件如上，得到一個矩陣，簡稱“豎橫陣”；，A是矩陣，則得到一個s維列向量，稱之為“橫陣橫”；，是n維列向量，則得到一個s維列向量，稱之為“陣豎數”。五. 全微分方程是唯一有條件的常微分方程類型，其求解的公式不對稱容易記錯；除此之外本題還考查了二階常系數非齊次方程的解法。、協方差性質及正態(tài)分布的獨立與不相關等價的性質。這種題的題眼單一，比較典型，做兩次應該就能記住了。同時還考了判定函數在某點連續(xù)性的方法“在處連續(xù)的充要條件是有”。這些技巧在求解二重積分的題目中必有涉及，故本題可作為復習這一部分內容時參考的典型題。十. ，但是如果按照題目“則的數學期望”的暗示，用求一維隨機變量函數分布的步驟求出的分布之后再求期望的話就上了出題人的當；“”看起來也有點莫名其妙，很容易唬住人，但經過冷靜分析就會發(fā)現考點其實就是概率部分的公式。：原式；同時有原式。這幾個題目所用知識點之間有相互聯系，但介于考試時的深度要求，沒有必要去一一推導，只用放在一起對比記憶即可——“全微分方程5式統一”：是函數的梯度243。八. 本題如果一見到條件“是維非零列向量，是的轉置”和就想到可能用上性質“橫豎數、數橫陣”（，向量是n維列向量，則得到一個常數，簡稱“橫豎數”；b. 條件如上，得到一個矩陣，簡稱“豎橫陣”；，A是矩陣，則得到一個s維列向量，稱之為“橫陣橫”；，是n維列向量，則得到一個s維列向量，稱之為“陣豎數”）。8 1997年數學一評題 本題較有新意，通過題設條件中的極坐標方程與極坐標轉換公式導出曲線的參數方程，然后將求切線斜率轉化為對參數方程的求導。93年第十題第一小題是“一批產品共有10個正品和2個次品，任意抽取兩次，每次抽一個，抽出后不再放回，則第二次抽出的是次品的概率為”同樣也可用這兩種方法求解。“二元函數在某點處兩個偏導數存在是在該點連續(xù)的“即非充分又非必要條件”也考察了二元函數的連續(xù)性與可偏導性無關的性質。 本題條件中有，故有（為的列向量），即的列向量是齊次線性方程組的解；同時條件中又指出是非零矩陣，故的列向量中必有非零向量，即必有非零解，其等價于。本題第一問的問法“證明的充分條件是”不就是“若，試證明”嗎。是全微分方程243。經過類似的推理印證可以找出很多類似知識點之間的聯系，有時還能夠將兩個易混淆的點化為一個點來掌握，事半功倍。我們有必要對這些“出題技巧”有充分的心理準備，或者，精讀《孫子兵法》。貝努利方程的出現增加了一些難度，但只要辨明貝努利方程的形式以后就好辦了，出此之外本題的難度分布基本均勻。極限、連續(xù)和可導性的判定條件之間有混淆的可能，當遇到分段函數時更容易弄錯，故有必要區(qū)分清楚。矢量數積滿足交換律、分配律和與數乘矢量的結合律，矢積與之不同之處是滿足反交換律，即、就是由這條特殊性質推出的。對于正態(tài)分布有下列性質：若隨機變量分別服從正態(tài)分布、則服從二維正態(tài)分布，同時也服從正態(tài)分布，故上述三種分布其實是一回事，因為反過來也成立。六. 本題中由條件推出、其實對于任意a都有、在題目中出現類似形式時需想到這一點。 本題有明顯的誤導傾向，一元函數有性質“可導一定連續(xù)、連續(xù)不一定可導”，而對于二元函數來說連續(xù)性與可偏導性之間沒有任何聯系。證與相互獨立有以下等價條件：；；；。七. 線代部分出題的特點是“深度不大但涉及知識點多，思路簡單但十分靈活”。，第1小題是冪指函數求極限，方法固定；第2小題的題眼在于變量替換“”，類似的題目都需使用這樣的代換；第3小題主考知識點是伯努利方程，將其轉化為一階線性方程后按照“辨明類型——〉套用求解方法”的流程操作就行了。 本題考查的是無窮小量定義、變上限積分求導、洛必達法則三個知識點，從中可有收獲：，因為出題人不避諱在同一張試卷上出到幾次；求導時抓住公式即可：、。這樣的點是“重點”范圍外的偏僻知識點，但正如前面