【正文】 ? 4. 組距： 上限與下限之差 ? 5. 組中值： 下限與上限之間的中點(diǎn)值，或稱組平均數(shù)，常用作組的代表值 組中值的計(jì)算方法 ? ： ? ： 作不等組距分組的例題 ? 由于年齡分布具有年齡越小，人數(shù)越多，年齡越大，人數(shù)越少的現(xiàn)象，因此對人口按年齡進(jìn)行分組也可以作不等距分組。這時，各單變量值作為組的名稱，兩相鄰整數(shù)間區(qū)間才是組的取值范圍 。 [例 1] 將學(xué)生按性別 (列名尺度 )分為“男”、“女”兩組。 ? 解：該計(jì)劃的完成程度為 ? 1872萬元 247。 20萬人 = /萬人 =6280元 /人 ? 即 該地區(qū)去年 GDP為人均 6280元。其值越大越好者為正指標(biāo)，反之為逆指標(biāo)。 ? 計(jì)算結(jié)果常用百分?jǐn)?shù)或倍數(shù)表示，也可以比例形式表示。 = 總 體 部 分 總 量比 例 相 對 指 標(biāo) 總 體 另 一 部 分 總 量? 計(jì)算結(jié)果常用百分?jǐn)?shù)表示，也有以比較基數(shù)抽象化為 100、 1000的表示方法。 相對指標(biāo)的種類 (補(bǔ)充 ) ? 結(jié)構(gòu)相對指標(biāo)， ? 比例相對指標(biāo)， ? 比較相對指標(biāo)， ? 強(qiáng)度相對指標(biāo)， ? 動態(tài)相對指標(biāo)， ? 計(jì)劃完成任務(wù)相對指標(biāo)。 ? 實(shí)物單位有： ? 自然單位：個、輛、匹、頭 … ? 度量衡單位：公斤、噸、米、公里、平方米、立方厘米 … ? 雙重單位：臺 /千瓦、噸 /臺 … ? 復(fù)合單位：噸公里、千瓦小時 … 相對指標(biāo)的概念 (補(bǔ)充 ) ? 相對指標(biāo)又稱統(tǒng)計(jì)相對數(shù)，它是兩個有相互聯(lián)系的現(xiàn)象數(shù)量的比率。 ? 總體標(biāo)志總量是指總體中各單位標(biāo)志值的總和。 ? 總量指標(biāo)是對統(tǒng)計(jì)調(diào)查得來的原始資料經(jīng)過分組和匯總得到的各項(xiàng)總計(jì)數(shù)字是統(tǒng)計(jì)整理階段的直接成果。 標(biāo)志的數(shù)值特征 根據(jù)是否可以運(yùn)算這一特點(diǎn)，可以將列名尺度和順序尺度歸為一個大類，它們具有非數(shù)值特征，屬于 品質(zhì)標(biāo)志 ；而間隔尺度和比例尺度歸為另一個大類，它們具有數(shù)值特征，屬于 數(shù)量標(biāo)志 。 例：溫度從數(shù)值大小可判斷溫度高低，從兩個溫度的差可以了解溫差大小， 0oC不表示無溫度，而表示結(jié)冰臨界。 ? 三、間隔尺度： 能精確進(jìn)行加減計(jì)量，可計(jì)算差異，“ 0”有具體含義，不表示“不存在”。不可計(jì)算倍率。 例：海拔的數(shù)值大小可判斷事物相對于海平面的位置，從兩個海拔的差可以了解垂直距離，但“ 0”海拔不表示無海拔，而表示處于海平面上。 四種計(jì)量尺度數(shù)學(xué)特性的比較 四種計(jì)量尺度的比較 列名尺度 順序尺度 間隔尺度 比例尺度 分類 ( = ， ≠ ) 排序 ( ， ) 間距 ( + ， ) 比值 ( ， 247。 ? 總量指標(biāo)又稱統(tǒng)計(jì)絕對數(shù)，它的數(shù)值隨統(tǒng)計(jì)范圍的大小而增加或減少。 ? 如：全國企業(yè)總產(chǎn)值，廣東省高?？偼顿Y額。 ? 相對指標(biāo)的作用： ? ①為人們深入認(rèn)識事物發(fā)展的質(zhì)量與狀況提供客觀的依據(jù)； ? ②使不能對比的現(xiàn)象找到可以對比的基礎(chǔ)，提供更為有效的分析。 ? 結(jié)構(gòu)相對指標(biāo)：是在分組的基礎(chǔ)上，以總體總量為比較標(biāo)準(zhǔn)，求出各組總量占總體總量的比重，以反映總體內(nèi)部組成情況的綜合指標(biāo)。 ? 例：某大學(xué) 2022年招收的新生共 1375人，其中男生 750人，女生 625人，求2022年該大學(xué)新招男、女生的比例 。 = 甲 單 位 某 指 標(biāo) 值比 較 相 對 指 標(biāo)乙 單 位 某 指 標(biāo) 值? 例：某年北京市工業(yè)總產(chǎn)值 ，上海市工業(yè)總產(chǎn)值 ，求上海市與北京市的工業(yè)總產(chǎn)值比較。 現(xiàn)象總量指標(biāo)現(xiàn)象總量指標(biāo)強(qiáng)度相對指標(biāo)BA?? 例：服務(wù)的人數(shù) 247。 ? 動態(tài)相對指標(biāo)：又稱發(fā)展速度，它是兩個發(fā)生于不同時間的同類指標(biāo)的對比，以表明事物在兩個時間之間發(fā)展變化的程度。 1500萬元 =% ? 可知，該企業(yè) 2022年產(chǎn)值計(jì)劃超額 %完成。 [例 2] 將學(xué)生按等級成績 (順序尺度 )分為“優(yōu)”、“良”、“中”、“及格”、“不及格”五組。 單變量值分組的例 當(dāng)變量取值范圍較小時，常采取單變量分組 ? 1. 家庭人口數(shù)是離散變量，其取值范圍小 中國家庭按人口數(shù)分組，可分為 1人、 2人、 3人、 … 、 8人等八個組。 ? P23表 階段分組的兩個定義表 (男、女兩種不同劃分 )。第二列為各組人數(shù)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。 某城市家庭按人口數(shù)分組 按家庭人口數(shù)分組 (人 ) 人數(shù) 百分比 (%) 1 652 2 1435 3 18624 4 295 5 83 合計(jì) 21089 對連續(xù)變量作單變量值分組編分配表的例 (4) ? P22表 。 ? 表 ，采用了不重疊組限，這時規(guī)定“實(shí)際上限為上組的下限，且上限不在組內(nèi)”，組中值 =(上組下限 —本組下限 ) 247。 ⑵ 頻率分配直方圖： 在直角坐標(biāo)中 ， 將分組標(biāo)志置于橫軸 ， 各組區(qū)間長度比重作為矩形的寬 ，將頻率 (比重 )置于縱軸 ， 各組頻率 (比重 )作為相應(yīng)矩形的長 ， 用各組的長方形圖組成頻率 (比重 )分配的直方圖 。 A B 基 尼 系 數(shù)= ?AAB基尼系數(shù)的計(jì)算 基尼系數(shù)計(jì)算公式為： 由于 A+B=， 故計(jì)算的關(guān)鍵在于求出 B的面積 。 說明：適用于缺少原始數(shù)據(jù)的情況下對眾數(shù)的近似估計(jì)。 說明：適用于缺少原始數(shù)據(jù)的情況下對中位數(shù)的近似估計(jì)。 ? 這說明：同一定義的不同實(shí)現(xiàn)手段可能導(dǎo)致結(jié)果有差異。 總體均值 1 1 2 2 1121niin n inniixfx f x f x fxf f ff??? ? ???? ? ???樣本均值 1 1 2 2 1121niin n inniixfx f x f x ff f ff? ??? ? ???? ? ???求次數(shù)加權(quán)均值的例題 (P22) (單變量值分組 ) P22表 某班學(xué)生按年齡分組統(tǒng)計(jì)表如下 求該班學(xué)生的平均年齡。 計(jì)算該投資者在這四年內(nèi)的平均收益率 %0 78 1% 01% 25% 02% 044??????G算術(shù)平均： ? ? %%%%% ??????G 幾何平均： √ 幾何均值的計(jì)算 (據(jù)水平資料計(jì)算 ) [P35 例 ]我國 1998—2022年各年的生產(chǎn)總值分別為 、 、 、 、。 ? ，須應(yīng)用均值的計(jì)算方法。 又如 x1=6，x2=7， 那么 x3則必然取 2， 而不能取其他值 。 301301311010 730kkkkkxfxf??? ? ???3022 1301()3 1 4 7 .51 0 8 .5 3291kkkkkx x fsf???? ? ????2 1 0 8 . 5 3 1 0 . 4 2ss? ? ?Excel計(jì)算均值和方差的列表 按周加工零件數(shù)分組 (件 ) 組中值 次數(shù) 組總和 方差 x f xf ()2f 80～ 90 85 3 255 90～ 100 95 7 665 100～ 110 105 13 1365 110～ 120 115 5 575 120～ 130 125 2 250 合計(jì) — 30 3110 ? 解法三：直接對原始數(shù)據(jù)，利用 Excel函數(shù) VAR計(jì)算方差，利用 Excel函數(shù) STDEV計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差。 ? 計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差： 在數(shù)列外選定一單元格，點(diǎn)擊菜單欄中“ ∑”符號右邊的小三角“▼”，選擇“其它函數(shù)” → 選擇類別“統(tǒng)計(jì)” → 選擇函數(shù)“ STDEV” →“ 確定”，在出現(xiàn)的函數(shù)參數(shù)窗口中的 Number1右邊的空欄中輸入： A1:A30 (或鼠標(biāo)選定數(shù)列 ) ， → “確定”，即在選定單元格中出現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算結(jié)果： 。 樣本方差與總體方差的關(guān)系 ? s2與總體方差 σ 2都是各標(biāo)志值與均值離差平方值的平均數(shù)。 方差和標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān)系 ? 方差是標(biāo)準(zhǔn)差的平方，標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)根； ? 方差的公式較簡單，便于計(jì)算。 解：應(yīng)該先求出各年的發(fā)展速度，再對各年的發(fā)展速度求幾何平均： 切尾均值 (P36)(不作要求 ) 1. 定義：去掉大小兩端的若干數(shù)值后計(jì)算中間數(shù)據(jù)的均值 2. 在電視大獎賽 、 體育比賽及需要人們進(jìn)行綜合評價的比賽項(xiàng)目中已得到廣泛應(yīng)用 3. 計(jì)算公式為 ( 1 ) ( 2 ) ( )2n n n nx x xxnn? ? ?? ?? ? ?? ? ????10 2???n 表示觀察值的個數(shù)； α表示切尾系數(shù)， 切尾均值 (例題分析 ) ? 【 例 】 某次比賽共有 11名評委 ， 對某位歌手的給分分別是： 經(jīng)整理得到順序統(tǒng)計(jì)量值為 1 2 3 4 5 6, , , , , ,9 .2 2 , 9 .2 5 , 9 .2 0 , 9 .3 0 , 9 .6 5 , 9 .3 0 ,x x x x x x7 8 9 10 11, , , , 9 .2 7 , 9 .2 0 , 9 .2 8 , 9 .2 5 , 9 .2 4x x x x x( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ), , , , , ,9 .2 0 , 9 .2 0 , 9 .2 2 , 9 .2 4 , 9 .2 5 , 9 .2 5 ,x x x x x x( 7 ) ( 8 ) ( 9 ) ( 1 0 ) ( 1 1 ), , , , 9 .2 7 , 9 .2 8 , 9 .3 0 , 9 .3 0 , 9 .6 5x x x x x去掉一個最高分和一個最低分，取 α=1/11，得： ? ? ? ? ? ?11 1 / 11 1 11 1 / 11 2 11 11 1 / 111 / 11( 2 ) ( 3 ) ( 10 )11 2 11 1 / 11 11 2 9x x xxx x x? ? ? ? ? ?? ? ??? ? ?? ? ???? ? ??? 眾數(shù)、中位數(shù)和均值的關(guān)系(P37) 左偏分布 均值 中位數(shù) 眾數(shù) 對稱分布 均值 = 中位數(shù) = 眾數(shù) 右偏分布 眾數(shù) 中位數(shù) 均值 眾數(shù) 是出現(xiàn)最多的數(shù)值，處于分布曲線最高點(diǎn)的橫標(biāo)處； 中位數(shù) 是居于順序數(shù)據(jù)中間位置的代表數(shù)值，處于分布曲線定義區(qū)間的中點(diǎn)位置 (中心 )； 均值 是一組數(shù)據(jù)的中心點(diǎn)，處于分布曲線下圖形面積的垂直平分線的橫標(biāo)處 (重心 )。 按周加工零件數(shù)分組 (件 ) 次數(shù) 80～ 90 3 90～ 100 7 100～ 110 13 110～ 120 5 120～ 130 2 合計(jì) 30 求次數(shù)加權(quán)均值的例題 (解 ) (組距分組 ) 解 ：整理表格，計(jì)算組中值，將組中值作為平均對象 x，計(jì)算加權(quán)均值公式元素 xf，并計(jì)算 f與 xf的合計(jì)數(shù)，得： 于是得平均周加工零件數(shù)： 按周加工零件數(shù)分組 (件 ) 組中值 次數(shù) xf x f 80～ 90 85 3 255 90～ 100 95 7 665 100～ 110 105 13 1365 110～ 120 115 5 575 120～ 130 125 2 250 合計(jì) 30 3110 3110 1 0 3 . 6 7 ( )30xfxf? ? ??? 件比重加權(quán)均值 ? 設(shè)分組數(shù)據(jù)為： x1 ， x2 ， … ， xn ? 相應(yīng)的頻率為： ， ， … ， 2ff?1f f?nff?總體均值 1212nknkffffx x x xf f f f? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?樣本均值 1212nknkffffx x x x xf f f f? ? ? ? ? ?? ? ? ?比重加權(quán)均值公式是次數(shù)加權(quán)均值公式的變形 求比重加權(quán)均值的例題 (P22) (單變量分組 ) P22表 某班學(xué)生按年齡分組統(tǒng)計(jì)表為 求該班學(xué)生平均年齡。 組距分組數(shù)據(jù)的第 1四分位數(shù)計(jì)算舉例 見課本 P28表 表中