【正文】 　　若f(a)=0，則稱a為多項(xiàng)式f(x)的一個(gè)根．　　定理1(因式定理) 若a是一元多項(xiàng)式f(x)的根，即f(a)=0成立，則多項(xiàng)式f(x)有一個(gè)因式xa．　　根據(jù)因式定理，找出一元多項(xiàng)式f(x)的一次因式的關(guān)鍵是求多項(xiàng)式f(x)的根．對(duì)于任意多項(xiàng)式f(x)，要求出它的根是沒有一般方法的，然而當(dāng)多項(xiàng)式f(x)的系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，即整系數(shù)多項(xiàng)式時(shí)，經(jīng)常用下面的定理來判定它是否有有理根．　　定理2　　　　的根，則必有p是a0的約數(shù)，q是an的約數(shù)．特別地，當(dāng)a0=1時(shí)，整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)的整數(shù)根均為an的約數(shù)．　　我們根據(jù)上述定理，用求多項(xiàng)式的根來確定多項(xiàng)式的一次因式，從而對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．　　例2 分解因式：x34x2+6x4．　　分析 這是一個(gè)整系數(shù)一元多項(xiàng)式，原式若有整數(shù)根，必是4的約數(shù)，逐個(gè)檢驗(yàn)4的約數(shù)：177。為：　　所以，原式有因式9x23x2．　　解 9x43x3+7x23x2　　　=9x43x32x2+9x23x2　　　=x2(9x33x2)+9x23x2　　　=(9x23x2)(x2+1)　　　=(3x+1)(3x2)(x2+1)　　說明 若整系數(shù)多項(xiàng)式有分?jǐn)?shù)根，可將所得出的含有分?jǐn)?shù)的因式化為整系數(shù)因式，如上題中的因式　　可以化為9x23x2，這樣可以簡(jiǎn)化分解過程．　　總之，對(duì)一元高次多項(xiàng)式f(x)，如果能找到一個(gè)一次因式(xa)，那么f(x)就可以分解為(xa)g(x)，而g(x)是比f(wàn)(x)低一次的一元多項(xiàng)式，這樣，我們就可以繼續(xù)對(duì)g(x)進(jìn)行分解了．　　3．待定系數(shù)法　　待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中的一種重要的解題方法，應(yīng)用很廣泛，這里介紹它在因式分解中的應(yīng)用．　　在因式分解時(shí)，一些多項(xiàng)式經(jīng)過分析，可以斷定它能分解成某幾個(gè)因式，但這幾個(gè)因式中的某些系數(shù)尚未確定，這時(shí)可以用一些字母來表示待定的系數(shù)．由于該多項(xiàng)式等于這幾個(gè)因式的乘積，根據(jù)多項(xiàng)式恒等的性質(zhì)，兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)應(yīng)該相等，或取多項(xiàng)式中原有字母的幾個(gè)特殊值，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程(或方程組)，解出待定字母系數(shù)的值，這種因式分解的方法叫作待定系數(shù)法．　　例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．　　分析 由于　　(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，　　若原式可以分解因式，那么它的兩個(gè)一次項(xiàng)一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，應(yīng)用待定系數(shù)法即可求出m和n，使問題得到解決．　　解 設(shè)　　x2+3xy+2y2+4x+5y+3　　=(x+2y+m)(x+y+n)　　=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，　　比較兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，則有　　解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．　　說明 本題也可用雙十字相乘法，請(qǐng)同學(xué)們自己解一下．　　例5 分解因式：x42x327x244x+7．　　分析 本題所給的是一元整系數(shù)多項(xiàng)式，根據(jù)前面講過的求根法，若原式有有理根，則只可能是177。②，有z=7．同理有x=5，y=1．所求x，y，z顯然滿足①，所以　　　　　　　解 設(shè)原式=x，則　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解法1 利用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)來解．　　　　將方程左端因式分解有　　(x4)(x2＋4x＋10)＝0．　　因?yàn)椤　2＋4x＋10＝(x＋2)2＋6＞0，　　所以x4＝0，x＝4．所以原式＝4．　　解法2　　　　　　　說明 解法2看似簡(jiǎn)單，但對(duì)于三次根號(hào)下的拼湊是很難的，因此本題解法1是一般常用的解法．　　例8 化簡(jiǎn)：　　　　解(1)　　 　　　　　　　　　　　本小題也可用換元法來化簡(jiǎn)．　　　　　　　　　　解 用換元法．　　　　　　　　　　　　　解 直接代入較繁，觀察x，y的特征有　　　　所以　　3x25xy＋3y2＝3x2＋6xy＋3y211xy　　　　　　　 ＝3(x＋y)211xy　　 　　　　?。?102111＝289．　　例11 求　　　　分析 本題的關(guān)鍵在于將根號(hào)里的乘積化簡(jiǎn)，不可一味蠻算．　　解 設(shè)根號(hào)內(nèi)的式子為A，注意到1＝(21)，及平方差公式(a＋b)(ab)＝a2b2，所以　　A＝(21)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(2256＋1)＋1　?。?221)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(2256＋1)＋1　?。?241)(24＋1)(28＋1)(216＋1)…(2256＋1)＋1　　＝…＝(22561)(2256＋1)＋1　?。?22561＋1＝22256，　　　　　　　　　的值．　　分析與解 先計(jì)算幾層，看一看有無規(guī)律可循．　　　　　　　　　　　　　解 用構(gòu)造方程的方法來解．設(shè)原式為x，利用根號(hào)的層數(shù)是無限的特點(diǎn)，有　　兩邊平方得　　　　兩邊再平方得　　x44x2＋4＝2＋x，所以x44x2x＋2＝0．　　觀察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x＝1，2時(shí)，方程成立．因此，方程左端必有因式(x＋1)(x2)，將方程左端因式分解，有　　(x＋1)(x2)(x2＋x1)＝0．　　　　　　　　　　　解 因?yàn)椤　　　　　　　【毩?xí)七　　1．化簡(jiǎn)：　　　　　　　　2．計(jì)算：　　　　　　　3．計(jì)算：　　　　　　　　　　　　　第八講 非負(fù)數(shù)　　所謂非負(fù)數(shù)，是指零和正實(shí)數(shù)．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)在解題中頗有用處．常見的非負(fù)數(shù)有三種：實(shí)數(shù)的偶次冪、實(shí)數(shù)的絕對(duì)值和算術(shù)根．　　1．實(shí)數(shù)的偶次冪是非負(fù)數(shù)　　若a是任意實(shí)數(shù)，則a2n≥0(n為正整數(shù))，特別地，當(dāng)n=1時(shí)，有a2≥0．　　2．實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)　　若a是實(shí)數(shù)，則　　性質(zhì) 絕對(duì)值最小的實(shí)數(shù)是零．`　　3．一個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)根是非負(fù)數(shù)　　　　4．非負(fù)數(shù)的其他性質(zhì)　　(1)數(shù)軸上，原點(diǎn)和原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示的數(shù)都是非負(fù)數(shù)．(2)有限個(gè)非負(fù)數(shù)的和仍為非負(fù)數(shù)，即若a1，a2，…，an為非負(fù)數(shù)，則　　a1＋a2＋…＋an≥0．　　(3)有限個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，那么每一個(gè)加數(shù)也必為零，即若a1，a2，…，an為非負(fù)數(shù)，且a1＋a2＋…＋an=0，則必有a1＝a2＝…＝an＝0．　　在利用非負(fù)數(shù)解決問題的過程中，這條性質(zhì)使用的最多．　　(4)非負(fù)數(shù)的積和商(除數(shù)不為零)仍為非負(fù)數(shù)．　　(5)最小非負(fù)數(shù)為零，沒有最大的非負(fù)數(shù)．　　(6)一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)有實(shí)數(shù)根的充要條件是判別式△=b24ac為非負(fù)數(shù)．　　應(yīng)用非負(fù)數(shù)解決問題的關(guān)鍵在于能否識(shí)別并揭示出題目中的非負(fù)數(shù)，正確運(yùn)用非負(fù)數(shù)的有關(guān)概念及其性質(zhì)，巧妙地進(jìn)行相應(yīng)關(guān)系的轉(zhuǎn)化，從而使問題得到解決．　　　　　　　解得a=3，b=2．代入代數(shù)式得　　　　　　　解 因?yàn)?20x3)2為非負(fù)數(shù)，所以(20x3)2≤0． ①　　(20x3)2≥0． ②　　由①，②可得：(20x3)2=0．所以　　原式=｜｜20177。7(7的約數(shù))，經(jīng)檢驗(yàn)，它們都不是原式的根，所以，在有理數(shù)集內(nèi)，原式?jīng)]有一次因式．如果原式能分解，只能分解為(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．　　解 設(shè)　　原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)　　　　=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，　　所以有　　由bd=7，先考慮b=1，d=7有　　　　　所以　　原式=(x27x+1)(x2+5x+7)．　　說明 由于因式分解的唯一性，所以對(duì)b=1，d=7等可以不加以考慮．本題如果b=1，d=7代入方程組后，無法確定a，c的值，就必須將bd=7的其他解代入方程組，直到求出待定系數(shù)為止．　　本題沒有一次因式，因而無法運(yùn)用求根法分解因式．但利用待定系數(shù)法，使我們找到了二次因式．由此可見，待定系數(shù)法在因式分解中也有用武之地．練習(xí)二　　1．用雙十字相乘法分解因式：　　(1)x28xy+15y2+2x4y3；　　(2)x2xy+2x+y3；　　(3)3x211xy+6y2xz4yz2z2．　　2．用求根法分解因式：　　(1)x3+x210x6；　　(2)x4+3x33x212x4；　　(3)4x4+4x39x2x+2．　　3．用待定系數(shù)法分解因式：　　(1)2x2+3xy9y2+14x3y+20；　　(2)x4+5x3+15x9．第三講 實(shí)數(shù)的若干性質(zhì)和應(yīng)用　　實(shí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)特別是微積分的重要基礎(chǔ)．在初中代數(shù)中沒有系統(tǒng)地介紹實(shí)數(shù)理論，是因?yàn)樗婕暗綐O限的概念．這一概念對(duì)中學(xué)生而言，有一定難度．但是，如果中學(xué)數(shù)學(xué)里沒有實(shí)數(shù)的概念及其簡(jiǎn)單的運(yùn)算知識(shí)，中學(xué)數(shù)學(xué)也將無法繼續(xù)學(xué)習(xí)下去了．例如，即使是一元二次方程，只有有理數(shù)的知識(shí)也是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠用的．因此，適當(dāng)學(xué)習(xí)一些有關(guān)實(shí)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，以及運(yùn)用這些知識(shí)解決有關(guān)問題的基本方法，不僅是為高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打基礎(chǔ)，而且也是初等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所不可缺少的．本講主要介紹實(shí)數(shù)的一些基本知識(shí)及其應(yīng)用．　　用于解決許多問題，例如，不難證明：任何兩個(gè)有理數(shù)的和、差、積、商還是有理數(shù)，或者說，有理數(shù)對(duì)加、減、乘、除(零不能做除數(shù))是封閉的．　　性質(zhì)1 任何一個(gè)有理數(shù)都能寫成有限小數(shù)(整數(shù)可以看作小數(shù)點(diǎn)后面為零的小數(shù))或循環(huán)小數(shù)的形式，反之亦然．　　例1　　　　分析 要說明一個(gè)數(shù)是有理數(shù)，其關(guān)鍵要看它能否寫成兩個(gè)整數(shù)比的形式．　　證 設(shè)　　　　兩邊同乘以100得　　　?、冖俚谩　?9x==，　　　　　無限不循環(huán)小數(shù)稱為無理數(shù)．有理數(shù)對(duì)四則運(yùn)算是封閉的，而無理是說，無理數(shù)對(duì)四則運(yùn)算是不封閉的，但它有如下性質(zhì)． 　　性質(zhì)2 設(shè)a為有理數(shù)，b為無理數(shù)，則　　(1)a+b，ab是無理數(shù)；　　　　有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)，即　　在實(shí)數(shù)集內(nèi)，沒有最小的實(shí)數(shù)，也沒有最大的實(shí)數(shù)．任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，可以比較大?。w實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的所有點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的．在實(shí)數(shù)集內(nèi)進(jìn)行加、減、乘、除(除數(shù)不為零)運(yùn)算，其結(jié)果仍是實(shí)數(shù)(即實(shí)數(shù)對(duì)四則運(yùn)算的封閉性)．任一實(shí)數(shù)都可以開奇次方，其結(jié)果仍是實(shí)數(shù)；只有當(dāng)被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)時(shí)，才能開偶次方，其結(jié)果仍是實(shí)數(shù)．　　例2　　　　分析　　證　　　　　　　所以　　　　　　　　分析 要證明一個(gè)實(shí)數(shù)為無限不循環(huán)小數(shù)是一件極難辦到的事．由于有理數(shù)與無理數(shù)共同組成了實(shí)數(shù)集，且二者是矛盾的兩個(gè)對(duì)立面，所以，判定一個(gè)實(shí)數(shù)是無理數(shù)時(shí)，常常采用反證法．　　證 用反證法．　　　　　所以p一定是偶數(shù)．設(shè)p=2m(m是自然數(shù))，代入①得　　4m2＝2q2，q2＝2m2，　　　　　例4 若a1+b1a=a2+b2a(其中a1，a2，b1，b2為有理數(shù)，a為無理數(shù))，則a1=a2，b1=b2，反之，亦成立．　　分析 設(shè)法將等式變形，利用有理數(shù)不能等于無理數(shù)來證明．　　證 將原式變形為(b1b2)a=a2a1．若b1≠b2，則　　　　　反之，顯然成立．　　說明 本例的結(jié)論是一個(gè)常用的重要運(yùn)算性質(zhì)．　　是無理數(shù)，并說明理由．　　　　整理得　　由例4知　　a＝Ab，1=A，　　　　說明 本例并未給出確定結(jié)論，需要解題者自己發(fā)現(xiàn)正確的結(jié)有理數(shù)作為立足點(diǎn)，以其作為推理的基礎(chǔ)．　　例6 已知a，b是兩個(gè)任意有理數(shù)，且a＜b，求證：a與b之間存在著無窮多個(gè)有理數(shù)(即有理數(shù)集具有稠密性)．　　分析 只要構(gòu)造出符合條件的有理數(shù)，題目即可被證明．　　證 因?yàn)閍＜b，所以2a＜a+b＜2b，所以　　　　　　說明 構(gòu)造具有某種性質(zhì)的一個(gè)數(shù)，或一個(gè)式子，以達(dá)到解題和證明的目的，是經(jīng)常運(yùn)用的一種數(shù)學(xué)建模的思想方法．　　例7 已知a，b是兩個(gè)任意有理數(shù)，且a＜b，問是否存在無理數(shù)α，使得a＜α＜b成立？　　　　　　　　　　即　　　　由①，②有　　　　　　　存在無理數(shù)α，使得a＜α＜b成立．　　b4+12b3+37b2+6b20　　的值．　　分析 因?yàn)闊o理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，所以不可能把一個(gè)無理數(shù)的小數(shù)部分一位一位確定下來，這樣涉及無理數(shù)小數(shù)部分的計(jì)算題，往往是先估計(jì)它的整數(shù)部分(這是容易確定的)，然后再尋求其小數(shù)部分的表示方法．　　14=9+6b+b2，所以b2+6b=5．　　b4+12b3+37b2+6b20　　=(b4+22，177。1，177。1，177。0｜＋20｜=40．　　說明 本題解法中應(yīng)用了“若a≥0且a≤0，則a=0”，這是個(gè)很有用的性質(zhì)．　　例3 已知x，y為實(shí)數(shù)，且　　解 因?yàn)閤，y為實(shí)數(shù)，要使y的表達(dá)式有意義，必有　　　　　　　　解 因?yàn)閍2+b24a2b+5=0，所以a24a+4+b22b+1=0，　　即 (a2)2+(b1)2=0．　　(a2)2=0，且 (b1)2=0．　　所以a=2，b=1．所以　　　　例5 已知x，y為實(shí)數(shù)，求　　u=5x26xy+2y2+2x2y+3的最小值和取得最小值時(shí)的x，y的值．　　解 u=5x26xy+2y2+2x2y+3　　　　=x2+y2+12xy+2x2y+4x24xy+yg2+2　　　　=(xy+1)2+(2xy)2+2．　　因?yàn)閤，y為實(shí)數(shù)，所以　　(xy+1)2≥0，(2xy)2≥0，所以u(píng)≥2．所以當(dāng)　　時(shí)，u有最小值2，此時(shí)x=1，y=2．　　例6 確定方程(a2+1)x22ax+(a2+4)=0的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)．