【正文】 46/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?23221 1 1231221 T 1 , ,23 3 , 226 T ( )2n y n y n n nn y n n nnnhhh f x h f x y x y xhhy x f x y x y xhy x o h???? ? ????????? ?? ???? ? ? ? ? ? ? ??????? ??????? ?? ??? ? ? ? ?????? ? ? ?? 隱式 歐拉法的局部截?cái)嗾`差： 1 1 1()n n nT y x y? ? ??? 2 32 ( ) ( )h ny x O h??? ? ?即隱式歐拉公式具有 1 階精度。 歐拉 (Euler)法 向后歐拉公式 由于未知數(shù) yn+1 同時(shí)出現(xiàn)在等式的兩邊，故稱為 隱式 /* implicit */ 歐拉公式，而前者稱為 顯式 /* explicit */ 歐拉公式。 歐拉 (Euler)法 局部截?cái)嗾`差 ? ?11 112() ( ) ( ) ( , ( ) ) ( ) . 2nn nn n n nnT y x yy x y x h f x y xhy ??? ????? ? ????2221 m a x | ( ) | ,| | | ( ) | ( ) . 22a x bnnM y xhhT y M O h?????????? ? ?令 則稱為 局部截?cái)嗾`差 35/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。 歐拉 (Euler)法 若對(duì)積分用梯形公式，則得 ? ?))(,())(,(2)()( 111 ??? ??? nnnnnn xyxfxyxfhxyxy? ?????????? ??? )(),(),(20111ayyyxfyxfhyy nnnnnn梯形歐拉公式 26/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 例 用歐拉法解初值問(wèn)題 ??????????1)0()(2yxxyyy取步長(zhǎng) h= ,計(jì)算過(guò)程保留 4位小數(shù) 解 : h=, 歐拉迭代格式 2),( xyyyxf ???21 ),( iiiiiiii yhxhyyyxhfyy ?????? ( 4 ) ( 0 , 1 , 2 3 )i i iy x y i? ? ? ，當(dāng) k=0, x1= ， 已知 x0=0， y0=1， 有 y()?y1= 1(4－ 0 1)＝ 當(dāng) k=1, x2= ， 已知 x1 =， y1 =， 有 y()? y2 = (4－ )＝ 當(dāng) k=2, x3 = ， 已知 x2 =， y2 =， 有 y() ?y3= ( )= 27/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。 對(duì)已求得點(diǎn) 以 為斜率作直線 ),( nnn yxP)( nxy? ( , )nnf x y? ))(,( nnnn xxyxfyy ???1?? nxx ))(,( 11 nxnnnn xxyxfyy ??? ??nn yxy ?)(取 19/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 從圖形上看 ,就獲得了一條近似于曲線 y=y(x) 的折線 。 如何求解 13/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 14/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 15/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。 )(, nyyy ????7/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis ? 常微分方程 ( ODEs 未知函數(shù)是一元函數(shù) ) ? 偏微分方程 ( PDEs 未知函數(shù)是多元函數(shù) ) vmcgdtdv ??22xuxuutu???????? ? 0yx222?????? ??8/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis ,2)(39。 引言 問(wèn)題提出 倒葫蘆形狀容器壁上的刻度問(wèn)題 .對(duì)于圓柱形狀容器壁上的容積刻度 ,可以利用圓柱體體積公式 HDV22 ??????? ?其中直徑 D為常數(shù) .由于體積 V與相對(duì)于容器底部的任意高度H的函數(shù)關(guān)系明確 ,因此在容器上可以方便地標(biāo)出容器刻度 ,而對(duì)于幾何形狀不是規(guī)則的容器 ,比如倒葫蘆形狀容器壁上如何標(biāo)出刻度呢 ? 4/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。 歐拉 (Euler)法 167。自變量的個(gè)數(shù)為兩個(gè)或兩個(gè)以上的微分方程叫 偏微分方程 。 11/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。過(guò)點(diǎn) (x0,y0),以 f(x0,y0)為 斜率的切線方程為 當(dāng) 時(shí) ,得 ))(,( 0000 xxyxfyy ???1xx ? ))(,( 010001 xxyxfyy ???這樣就獲得了 P1點(diǎn)的坐標(biāo)。 歐拉 (Euler)法 若 用向后差商近似導(dǎo)數(shù) ，即 ))(,()()( 111 ??? ?? nnnn xyxhfxyxy?????? ???)(),(0111ayyyxhfyy nnnnhxyxyxy nnn)()()( 11??? ??向后 Euler方法 ))(,()()( 111 ??? ?? nnnn xyxfh xyxy))(,()( 111 ??? ?? nnn xyxfxy24/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。y,x(fydxdy ????x0 x1 x2 x3 y0 h h h 歐拉折線法 30/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 1,y ( 0 )1x0 ,:????????? yxdxdy的數(shù)值解用歐拉方法求下列方程例?????????????????))((1)()1( 0 . 5 ) ( 01( 0 . 5 )11120001yhxyyyyhxyyy解： Euler公式為 ),(1 nnnn yxhfyy ???當(dāng) h= ?,1,0?n nnn yhxy ?? ?? hh分別取31/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 1)1( 0 . 2 5 ) ( ( 0 . 2 5 ) 0001 ?????? yxyyy),1,0( 1 ????? nyhxyy nnnn當(dāng) h= ))((1 )( 1112?????? yxyyy1 9 1 3 4 )0 6 2 )((0 6 2 )( 2223?????? yxyyy3 9 6 0 )1 9 1 3 4 )((1 9 1 3 4 )1 9 1 3 4 ,()()( 3334???????? hfyyxyyy32/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 1)y ( 0 。39/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。 但是注意，隱式公式中右邊含有 f(xn+1 , yn +1 ) , 由于 yn +1不準(zhǔn)確，所以不能直接用 y39。 改進(jìn) 歐拉 (Euler)方法 52/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。 改進(jìn) 歐拉 (Euler)方法 ?????????????????)(21),(),(11qpnpnnqnnnpyyyyxhfyyyxhfyy實(shí)際計(jì)算時(shí)，常改寫成以下形式 幾何 解釋 xn xn+1 A B Pn+1=(A+B)/2 歐拉法