【正文】
z反變換的求解方法: 圍線積分法(留數(shù)法) 部分分式法 長除法 ( ) [ ( )]x n IZ T X z?z反變換 : 從 X(z)中還原出原序列 x(n) ( ) [ ( ) ] ( ) nnX z Z T x n x n z??? ???? ? 圍數(shù)積分法求解(留數(shù)法) 若函數(shù) X(z)zn1在圍數(shù) C上連續(xù),在 C以內有 K個極點 zk,而在 C以外有 M個極點 zm,則有: ????????????mzznkzzncnmkzzXsorzzXsdzzzXjnx])([Re])([Re)(21)(111?Re[ ]zIm[ ]jz0xR? xR?CR e [ ( )] [( ) ( )]rrz z r z zs F z z z F z???? 圍數(shù)積分法求解(留數(shù)法) 根據(jù)復變函數(shù)理論,若函數(shù) X(z)在環(huán)狀區(qū)域 內是解析的,則在此區(qū)域內 X(z)可展開成羅朗級數(shù),即 而 其中圍線 c是在 X(z)的環(huán)狀 收斂域內環(huán)繞原點的一條 反時針方向的閉合單圍線。 ? 級數(shù)收斂的充要條件是滿足絕對可和 () nnx n z M??? ??? ? ??1)有限長序列 12()()0x n n n nxnn???? ?? 其它21Z ( ) ( )nnnnX z x n z ??? ?其 變換:0R o c z? ? ?至少為: Re[ ]zIm[ ]jz0? 除 0和 ∞ 兩點是否收斂與 n1和 n2取值情況有關外,整個 z 平面均收斂。 Z變換的基本性質和定理 )()()()( zbYzaXnbynax ???)()( zXzNnx N???)()( azXnxa n ?)()( zXdzdznnx ??R1∩R2 R |a|R R 序列的移位 z域尺度變換 (乘以指數(shù)序列) z域求導 (序列線性加權) Z變換的基本性質(續(xù)) )(l i m)0( zXxz ???)()1(lim)(1zXzxz????)1()(zXnx ??翻褶序列 )()( ??? ? zXnx1/R R 共軛序列 初值定理 終值定理 Z變換的基本性質(續(xù) ) )()()()( zYzXnynx ??有限項累加特性 ?? ???nmzXzzmxny0)(1)()(dvvHvzXjnhnxc)()(21)()( ???dvvvHvXjnhnx1)1()(21)()( ???????? ?? ??ZT的主要性質參見書 22 序列的卷積和 1序列乘法 1帕塞瓦定理 1L S I ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( )nnnh n b u n ab u nx n a u n?? ? ??例:已知 系統(tǒng)的單位抽樣響應:,求系統(tǒng)輸入 的響應。 π ,π )(:ω ?)()( nuanf n? 1?a)s i n)cos1(111)(0ωjωaaeeaeFj ωnjn ωnj ω???????????FTD T Z TazzFeFjjezezj ??????????111)()(由此可以得到 FT的 幅頻特性 和 相頻特性 ωaaeF j ωc os211)(2 ??? )c os1s in()( 1ωaωatgω?????物理說明 : 若 (語音信號處理中常用該指數(shù) 函數(shù)展寬單音信號的頻譜 ) ,該信號 3db帶寬 (或 )。 167。21 , 2 , ... , 1jiMiz ae i M?? ? ?零點: ,1110( ) ( ) z1( ) 01 ( )M M M MMkkMkx n na z z aH z a z zaz z z a??????????? ? ? ????解:令 ,兩邊取 變換( ) ( )01()0nn h na n Mhnn?? ? ? ?? ??當輸入為 ,則輸出為其它0 ( 1 )z M z a? ? ?極點: , 階, 處零極點相消 IIR系統(tǒng)和 FIR系統(tǒng) 無限長單位沖激響應( IIR)系統(tǒng): 單位沖激響應 h(n)是無限長序列 有限長單位沖激響應( FIR)系統(tǒng): 單位沖激響應 h(n)是有限長序列 0001()1MMmmmmmmNNkkkkkkb z b zHza z a z???????????????0ka ?IIR系統(tǒng):至少有一個 0ka ?FIR系統(tǒng):全部 0b全極點系統(tǒng) ( 自回歸系統(tǒng), AR系統(tǒng) ) :分子只有常數(shù)項 0b零極點系統(tǒng) ( 自回歸滑動平均系統(tǒng), AR- MA系統(tǒng) ) : 分子不止常數(shù)項 收斂域 內無極點,是全零點系統(tǒng) 0 z? ? ?(滑動平均系統(tǒng), MA系統(tǒng)) 00( ) ( ) ( )MNmkmky n b x n m a y n k??? ? ? ???0ka ?IIR系統(tǒng):至少有一個 有反饋環(huán)路,采用遞歸型結構 0ka ?FIR系統(tǒng):全部 無反饋環(huán)路,多采用非遞歸結構 Homework: P83- 1(1)(2)(3) 3(1) 7 10 14 18 。 )(~ nx)(~ kX)(~ kX )(~ nx?即: ???????kkNkXNnxD T F T )2()(~2)}({ ??????? ?? ?? ????????????????????????????????????????1021020201020)(~1)2()(~1)2()(~1)2()(~221)(~NkknNjNknjnjNknjkekXNdekNkXNdekNkXNdekNkXNnx????????????????????????????滿足 0??? 2?/N 從 ??0之前開始抽樣; 在 ??2?之間結束抽樣; 此區(qū)間共有 N個抽樣值: 0?k?N?1 ——周期序列的 DFS正變換和反變換 21100( ) [ ( ) ] ( ) ( )NN j nknkNNnnX k DF S x n x n e x n W??? ???? ? ???2110011( ) [ ( ) ] ( ) ( )NN j nk nkNNkkx n I DF S X k X k e X k WNN??????? ? ???周期序列的傅里葉級數(shù)( DFS) 2jNNWe???其中: 167。nωnx。 序列 ZT、連續(xù)信號 LT和 FT的關系 若: )()()()(?? ??? ??jXtxsXtxaFTaaLTa? ?????????????????? ????nn s TastaaLTnaaenTxdtetxsXnTtnTxtx)()()(?)()()(^^?連續(xù)信號采樣后的拉氏變換 LT—— 抽樣序列: )()( nTxnx a????????nnznxzX )()(sTez ?當 )(?)(|)( sXeXzX asTez sT ???兩變換之間的關系,就是由復變量 s平面到復變量 z平面的映射,其映射關系為 zTsez sT ln1, ??對比: ???????nn s Taa enTxsX )()(?jΩσs ??jωγez ?進一步討論這一映射關系: TereeereTTjTTjj?????? ????????,)(?1 sTez ?s平面到 z平面的 映射是 多值映射 。 ? X(z)在收斂域內解析,不能有極點,故: –右邊序列 的 z變換收斂域一定在 模最 大的有限極點所在圓 之外 –左邊序列 的 z變換收斂域一定在 模最 小的有限極點所在圓 之內