【正文】 基于上面的結(jié)論，對于 美 式買權(quán)的價格tc來說，也應該有如下的 不等式： ),0()( tTrttS P eSMa xc???? ( 10. 1. 8) 這是因為美式買權(quán)具有可以提前行使的性質(zhì)，這使得美式期權(quán)至少具有與歐式期權(quán)相同的價值，即 有 ： ttCc ?。 由美式買權(quán)下限的結(jié)論，我們可以得出歐式買權(quán)在時刻 t = T 的價值 為：),0( SPSM a xCTT??。 因此，對于美式賣權(quán) 的價格tp來說 ，應有： tp? S P ( 1 0 . 1 . 2 ) 而 對于歐式 賣 權(quán)，我們知道在 T 時刻期權(quán)的價值也不會超過 SP 。 在這一節(jié)中，我們將推導 單股股票 期權(quán)價格的上下限 ，如果不加以特別的說明，在以后的討論中 。 因此，股票價格tS就 是 買 權(quán)價格的上限 ，即對于美式買權(quán)的價格tc及歐式買權(quán)的價格tC來說，應有不等式： tc?tS；tC?tS ( 10 . 1. 1) 2022/2/16 7 （二）賣權(quán)的上限 （二）賣權(quán)的上限 當然，美式賣權(quán)的最大價格 應該是 其 行使 價格 SP ， 而歐式期權(quán)的最大價格 則應該是 其 行使 價格 SP 的貼現(xiàn)值。 事實上我們可以簡單地證明： 歐式買權(quán)的下限是)( tTrtS P eS???。 2022/2/16 11 可以看出，無論期權(quán)在到期時是實值的、平價的還是虛值的，我們所構(gòu)造的組合的價值或者為零或者大于零，不會得到一個負的價值。 在時刻 t =0 時 有以下資產(chǎn)組合： 1 股股票及 1 股相應的 歐式賣權(quán) 再加上金額 為)( tTrS P e??的現(xiàn)金 借貸。 假設投資者擁有一份買權(quán) ， 并且期權(quán)處于實值狀態(tài) （ 如果期權(quán)是虛值狀態(tài)的話 ， 投資者當然不會提前行使期權(quán) ） ， 比如期權(quán)的行使價格為 30元 ， 距到期日還有一個月 ， 無風險利率為 10%， 股票價格為 50元 。 美式買權(quán)不該提前行使也可以通過下面的式子來說明 。 SPSS P eSC tTr ???? ?? )(2022/2/16 19 四、美式賣權(quán)的提前行使 ? 賣權(quán)與買權(quán)不同 ， 提前行使可能是更有利的 ， 我們可以考慮一個極端的例子 ，假設期權(quán)的行使價格為 10元 ， 此時股票價格為 0， 由于股票價格不會為負 ， 因而此時行使賣權(quán)可以獲取最大收益 。 ? 于是 ， 當股價上漲時 ， 買權(quán)為實值 ， 賣權(quán)為虛值 ，此時組合 A、 B的價值都為： ST；當股價下跌時 ， 買權(quán)為虛值 ， 賣權(quán)為實值 ， 此時組合 A、 B的價值都為 SP。試確定有效期和行使價格都相同的買權(quán)的期權(quán)費是多少。 但這一假設的確能充分地簡化我們的理論推導 。反之，當股票價格下跌時、現(xiàn)貨多頭虧損，但是所賣出的買權(quán)價格下降會造成期權(quán)空頭的獲利。 同樣，我們也可以把 ( 10 . 2. 12 )式整理為用 P 表示的表達式，整理的結(jié)果為 ： ? ?TrTrffeSSpefppff??????? )()1(01000 ( 10. 2. 14 ) 2022/2/16 30 例 10 . 2 . 2 ，繼續(xù)使用例 10 . 2. 1 中的數(shù)據(jù)：0S ＝ $40 美元，1S ＝ $45 美元，2S = $3 5 美元， fr ＝ 6 ％， m ＝ 3 。 根據(jù)題意，有圖 10. 2 . 4 。因為兩期之內(nèi)股票價格上升與下跌的概率以及幅度都被假設是分別相等的，顯然應該有1221 SS ?以及：1221 ff ?。 返回電子版主頁 ? ? )( ?????? ??ef? ? ?????????? ??? )()( ef2022/2/16 41 將上面得出的1f、2f代入 (1 ) 式， 可得 ： ? ? )( 0????????ef美元 也可由式 ( .24) 直接求出賣權(quán)的合理價格 ： ? ? ?????????? ??? 0)()( ef = $ 美元 同樣由于股票價格上漲的概率大于下跌的概率，因此，買權(quán)的價格高于賣權(quán)的價格。 4 、 兩期賣權(quán)定價比一期賣權(quán)定價低 ，因為它虧損的可能性會更大 。 2022/2/16 44 例 ，仍然假設無風險利率為 6% ，某種股票的當前價格為每股 $40 美元，與例 不同的是我們預期 6 個月后的股票價格與期權(quán)價格。 依據(jù)圖 1 所示的數(shù)據(jù)，按公式 ( ) 式和 ( ) 式可以很容易地求解出 來。 美式期權(quán)與歐式期權(quán)在 B 、 C 兩點的價格相同，因而在 A 點，對于美式期權(quán)期權(quán)價格仍為 4 美元。 以買權(quán)為例 ， 提前行使期權(quán)就意味著在獲得期權(quán)內(nèi)在價值的同時需要放棄期權(quán)尚有的時間價值 ， 因此 ， 提前行使期權(quán)是否有利 ， 要比較以上兩個因素而定 。 而實際上的收益不為零。 根據(jù)買權(quán)的定義，期權(quán)的期望價格可以表示為： ? ?)0,m a x ()( SPSECETT?? ( 10 . ) 它是價格正態(tài)分布密度從協(xié)定價格 X 到無窮大的積 分。 可以應用歷史資料來求出金融資產(chǎn)的易變性 ， 我們稱之為歷史易變性 ， 其具體計算方法需要分四步進行計算： ??????????????????????????TTSSPNP??0ln1* ????????????????????? ???????????TTrSSPN?? 20 21ln1????????????????????? ????????????TTrSSPN?? 20 21ln?????????????????? ????????TTrSPSN?? 2021ln??2022/2/16 61 將 ( .9) 代入 ( .6 ) 并 根 據(jù) 正 態(tài) 分 布 的 對 稱 性 ， 有：)()(1 dNdN ???，于是可得： ??????????????????????????TTSSPNP??0ln1* ?????????????????????????????????TTrSSPN??2021ln1 ?????????????????????????????????TTrSSPN??2021ln???????????????????????????TTrSPSN??2021ln( .10) 式 ( .10) 中的?也被稱為金融資產(chǎn)的易變性 ( V olatil ity) 。 因此，通常采用的觀察次數(shù)在 20 次至 50 次之間為宜。 把( 10 . 0) 式 和 ( 10 . 1) 式 代入方程 ( 10 . ) ，可以得到買權(quán)價格的完整表達式： ?????????SPdNdNeSedNCrTrT)()()(21020 ( 1 0 . 3 . 1 3 ) 2022/2/16 65 整理得 ： )()(2100dNS P edNSCrT??? ( 1 0 . 3 . 1 4 ) 這就是著名的布萊克 —— 斯科爾斯模型 ， 它給出了買權(quán)的定價公式。 ? 對于買權(quán)來說 ， 協(xié)議價格越低 ， 期權(quán)價值越大 ， 買權(quán)的價格就越高 。 返回節(jié) 2022/2/16 68 第四節(jié) 新型期權(quán) ? 近幾年來 ， 在金融市場上開始出現(xiàn)了一些獨樹一幟的品種 ， 被總結(jié)為第二代期權(quán) 。 這種期權(quán)計算更復雜 ， 只能用二叉樹方法或三叉樹方法近似求解 。 ?返回子小節(jié) 2022/2/16 73 延期期權(quán)或可擴展期權(quán) ? 擁有這種期權(quán)的投資者有權(quán)在未來某時刻獲得另一種期權(quán) ， 且該期權(quán)的約定價格是當日標的資產(chǎn)的市場價 。 后定選擇權(quán)封閉解是 Rubinstein (199 1994)得出的 。 2022/2/16 77 觸消期權(quán) /觸發(fā)期權(quán) ? 檔板買權(quán)的檔板價格通常比約定價格和當前資產(chǎn)價格都要低 ,這就產(chǎn)生兩種檔板買權(quán)： ? （ 1） 向下觸消型買權(quán) (Downandout Calls)； ? （ 2） 向下觸發(fā)型買權(quán) (Downandin Calls)。 棘輪期權(quán)的約定價格在預先確定的日期重新確定 ， 梯形期權(quán)則可以多次在達到預先定好的資產(chǎn)價格水平時重新約定價格 。 有了可擴展期權(quán)就可以不再經(jīng)常更換期權(quán) ， 從而降低避險成本 。就像二進制數(shù)那樣 ， 非 0即 1， 所以才有此名 。 主要包括： 返回章 ? 一 、 合同條款變化型期權(quán) ——由于標準條款的一些基本特征的變化而產(chǎn)生的新期權(quán) 。 ? （ 三 ） 無風險利率 ? 從比較靜態(tài)的角度考察 ． 即比較不同利率水平下的兩種均衡狀態(tài) 。 0 5 1 1 0 3 2 4 6 24140ln21??????????????????????d 0 3 1 1 5 1 1 2???d )0 3 1 1 (45)0 5 1 1 (400NeNC??????= 2 6 4 0 4 ?????? 5 9 3 5 4 8 5 6 4 0 4 0?????P 2022/2/16 66 三、期權(quán)價格的決定因素： ? 從 B—S模型所涉及的變量來看 ， 期權(quán)價格的決定因素主要有：基礎金融資產(chǎn)的價格 ， 期權(quán)的行使價格 ， 無風險利率 ， 到期時間 ， 基礎金融資產(chǎn)的易變性 。但無論進行何種高明的調(diào)整，所計算出來的結(jié)果反映的都是歷史的易變性?？梢詰脷v史資料 來 求出 金融資產(chǎn) 的易變性，我們稱之為歷史易變性，其具體計算方法需要分四步進行計算： 2022/2/16 62 已知各個時期某金融資產(chǎn)的價格nS ，求出金融資產(chǎn)的相對價格1/?nnSS ? 取相對價格的自然對數(shù) )/l n (1?nnSS ? 求出對數(shù)相對價格樣本的均值和方差： 均值 ：NSSNiii????11)/l n (? ， 方差 ：? ?1)/l n (11??????NSSNiii?? N 為所取的樣本數(shù)。 如果SPST?，則SPSSPSTT??? )0,m a x (。 在市場有效的假設的前提下 ， 可以認為股票價格tS 的對數(shù)ts （ 小寫 ）遵從隨機游走 ( r an d om w al k ) 模型 ： tttss ???? 1 其中t?是一個服從于正態(tài)分布的隨機誤差項 ， 因而它另外的表達式? ?ttttttssSSSS ??????? 111lnln/ln也服從于正態(tài)分布。但是符合正態(tài)分布的變量一般可以取負值，但是基礎金融產(chǎn)品的價格沒有特殊的原因都是取正值的，這不符合正態(tài)分布的要求。 在 B點，按歐式期權(quán)算得期權(quán)價格為 65 美元，美式期權(quán)是虛值的，取兩者 的最大值，可知對于美式期權(quán)來講，在 B 點的期權(quán)價格同樣為 65美元。 2022/2/16 47