【正文】 基于上面的結(jié)論，對(duì)于 美 式買權(quán)的價(jià)格tc來說，也應(yīng)該有如下的 不等式： ),0()( tTrttS P eSMa xc???? ( 10. 1. 8) 這是因?yàn)槊朗劫I權(quán)具有可以提前行使的性質(zhì)，這使得美式期權(quán)至少具有與歐式期權(quán)相同的價(jià)值，即 有 ： ttCc ?。 由美式買權(quán)下限的結(jié)論，我們可以得出歐式買權(quán)在時(shí)刻 t = T 的價(jià)值 為：),0( SPSM a xCTT??。 因此，對(duì)于美式賣權(quán) 的價(jià)格tp來說 ，應(yīng)有： tp? S P ( 1 0 . 1 . 2 ) 而 對(duì)于歐式 賣 權(quán)，我們知道在 T 時(shí)刻期權(quán)的價(jià)值也不會(huì)超過 SP 。 在這一節(jié)中，我們將推導(dǎo) 單股股票 期權(quán)價(jià)格的上下限 ，如果不加以特別的說明，在以后的討論中 。 因此，股票價(jià)格tS就 是 買 權(quán)價(jià)格的上限 ，即對(duì)于美式買權(quán)的價(jià)格tc及歐式買權(quán)的價(jià)格tC來說，應(yīng)有不等式： tc?tS；tC?tS ( 10 . 1. 1) 2022/2/16 7 （二）賣權(quán)的上限 （二）賣權(quán)的上限 當(dāng)然，美式賣權(quán)的最大價(jià)格 應(yīng)該是 其 行使 價(jià)格 SP ， 而歐式期權(quán)的最大價(jià)格 則應(yīng)該是 其 行使 價(jià)格 SP 的貼現(xiàn)值。 事實(shí)上我們可以簡單地證明： 歐式買權(quán)的下限是)( tTrtS P eS???。 2022/2/16 11 可以看出，無論期權(quán)在到期時(shí)是實(shí)值的、平價(jià)的還是虛值的，我們所構(gòu)造的組合的價(jià)值或者為零或者大于零，不會(huì)得到一個(gè)負(fù)的價(jià)值。 在時(shí)刻 t =0 時(shí) 有以下資產(chǎn)組合： 1 股股票及 1 股相應(yīng)的 歐式賣權(quán) 再加上金額 為)( tTrS P e??的現(xiàn)金 借貸。 假設(shè)投資者擁有一份買權(quán) ， 并且期權(quán)處于實(shí)值狀態(tài) （ 如果期權(quán)是虛值狀態(tài)的話 ， 投資者當(dāng)然不會(huì)提前行使期權(quán) ） ， 比如期權(quán)的行使價(jià)格為 30元 ， 距到期日還有一個(gè)月 ， 無風(fēng)險(xiǎn)利率為 10%， 股票價(jià)格為 50元 。 美式買權(quán)不該提前行使也可以通過下面的式子來說明 。 SPSS P eSC tTr ???? ?? )(2022/2/16 19 四、美式賣權(quán)的提前行使 ? 賣權(quán)與買權(quán)不同 ， 提前行使可能是更有利的 ， 我們可以考慮一個(gè)極端的例子 ，假設(shè)期權(quán)的行使價(jià)格為 10元 ， 此時(shí)股票價(jià)格為 0， 由于股票價(jià)格不會(huì)為負(fù) ， 因而此時(shí)行使賣權(quán)可以獲取最大收益 。 ? 于是 ， 當(dāng)股價(jià)上漲時(shí) ， 買權(quán)為實(shí)值 ， 賣權(quán)為虛值 ，此時(shí)組合 A、 B的價(jià)值都為： ST；當(dāng)股價(jià)下跌時(shí) ， 買權(quán)為虛值 ， 賣權(quán)為實(shí)值 ， 此時(shí)組合 A、 B的價(jià)值都為 SP。試確定有效期和行使價(jià)格都相同的買權(quán)的期權(quán)費(fèi)是多少。 但這一假設(shè)的確能充分地簡化我們的理論推導(dǎo) 。反之，當(dāng)股票價(jià)格下跌時(shí)、現(xiàn)貨多頭虧損，但是所賣出的買權(quán)價(jià)格下降會(huì)造成期權(quán)空頭的獲利。 同樣，我們也可以把 ( 10 . 2. 12 )式整理為用 P 表示的表達(dá)式，整理的結(jié)果為 ： ? ?TrTrffeSSpefppff??????? )()1(01000 ( 10. 2. 14 ) 2022/2/16 30 例 10 . 2 . 2 ，繼續(xù)使用例 10 . 2. 1 中的數(shù)據(jù)：0S ＝ $40 美元，1S ＝ $45 美元，2S = $3 5 美元， fr ＝ 6 ％， m ＝ 3 。 根據(jù)題意，有圖 10. 2 . 4 。因?yàn)閮善谥畠?nèi)股票價(jià)格上升與下跌的概率以及幅度都被假設(shè)是分別相等的，顯然應(yīng)該有1221 SS ?以及：1221 ff ?。 返回電子版主頁 ? ? )( ?????? ??ef? ? ?????????? ??? )()( ef2022/2/16 41 將上面得出的1f、2f代入 (1 ) 式， 可得 ： ? ? )( 0????????ef美元 也可由式 ( .24) 直接求出賣權(quán)的合理價(jià)格 ： ? ? ?????????? ??? 0)()( ef = $ 美元 同樣由于股票價(jià)格上漲的概率大于下跌的概率，因此，買權(quán)的價(jià)格高于賣權(quán)的價(jià)格。 4 、 兩期賣權(quán)定價(jià)比一期賣權(quán)定價(jià)低 ，因?yàn)樗潛p的可能性會(huì)更大 。 2022/2/16 44 例 ，仍然假設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)利率為 6% ，某種股票的當(dāng)前價(jià)格為每股 $40 美元，與例 不同的是我們預(yù)期 6 個(gè)月后的股票價(jià)格與期權(quán)價(jià)格。 依據(jù)圖 1 所示的數(shù)據(jù)，按公式 ( ) 式和 ( ) 式可以很容易地求解出 來。 美式期權(quán)與歐式期權(quán)在 B 、 C 兩點(diǎn)的價(jià)格相同，因而在 A 點(diǎn)，對(duì)于美式期權(quán)期權(quán)價(jià)格仍為 4 美元。 以買權(quán)為例 ， 提前行使期權(quán)就意味著在獲得期權(quán)內(nèi)在價(jià)值的同時(shí)需要放棄期權(quán)尚有的時(shí)間價(jià)值 ， 因此 ， 提前行使期權(quán)是否有利 ， 要比較以上兩個(gè)因素而定 。 而實(shí)際上的收益不為零。 根據(jù)買權(quán)的定義，期權(quán)的期望價(jià)格可以表示為： ? ?)0,m a x ()( SPSECETT?? ( 10 . ) 它是價(jià)格正態(tài)分布密度從協(xié)定價(jià)格 X 到無窮大的積 分。 可以應(yīng)用歷史資料來求出金融資產(chǎn)的易變性 ， 我們稱之為歷史易變性 ， 其具體計(jì)算方法需要分四步進(jìn)行計(jì)算： ??????????????????????????TTSSPNP??0ln1* ????????????????????? ???????????TTrSSPN?? 20 21ln1????????????????????? ????????????TTrSSPN?? 20 21ln?????????????????? ????????TTrSPSN?? 2021ln??2022/2/16 61 將 ( .9) 代入 ( .6 ) 并 根 據(jù) 正 態(tài) 分 布 的 對(duì) 稱 性 ， 有：)()(1 dNdN ???，于是可得： ??????????????????????????TTSSPNP??0ln1* ?????????????????????????????????TTrSSPN??2021ln1 ?????????????????????????????????TTrSSPN??2021ln???????????????????????????TTrSPSN??2021ln( .10) 式 ( .10) 中的?也被稱為金融資產(chǎn)的易變性 ( V olatil ity) 。 因此，通常采用的觀察次數(shù)在 20 次至 50 次之間為宜。 把( 10 . 0) 式 和 ( 10 . 1) 式 代入方程 ( 10 . ) ，可以得到買權(quán)價(jià)格的完整表達(dá)式： ?????????SPdNdNeSedNCrTrT)()()(21020 ( 1 0 . 3 . 1 3 ) 2022/2/16 65 整理得 ： )()(2100dNS P edNSCrT??? ( 1 0 . 3 . 1 4 ) 這就是著名的布萊克 —— 斯科爾斯模型 ， 它給出了買權(quán)的定價(jià)公式。 ? 對(duì)于買權(quán)來說 ， 協(xié)議價(jià)格越低 ， 期權(quán)價(jià)值越大 ， 買權(quán)的價(jià)格就越高 。 返回節(jié) 2022/2/16 68 第四節(jié) 新型期權(quán) ? 近幾年來 ， 在金融市場(chǎng)上開始出現(xiàn)了一些獨(dú)樹一幟的品種 ， 被總結(jié)為第二代期權(quán) 。 這種期權(quán)計(jì)算更復(fù)雜 ， 只能用二叉樹方法或三叉樹方法近似求解 。 ?返回子小節(jié) 2022/2/16 73 延期期權(quán)或可擴(kuò)展期權(quán) ? 擁有這種期權(quán)的投資者有權(quán)在未來某時(shí)刻獲得另一種期權(quán) ， 且該期權(quán)的約定價(jià)格是當(dāng)日標(biāo)的資產(chǎn)的市場(chǎng)價(jià) 。 后定選擇權(quán)封閉解是 Rubinstein (199 1994)得出的 。 2022/2/16 77 觸消期權(quán) /觸發(fā)期權(quán) ? 檔板買權(quán)的檔板價(jià)格通常比約定價(jià)格和當(dāng)前資產(chǎn)價(jià)格都要低 ,這就產(chǎn)生兩種檔板買權(quán)： ? （ 1） 向下觸消型買權(quán) (Downandout Calls)； ? （ 2） 向下觸發(fā)型買權(quán) (Downandin Calls)。 棘輪期權(quán)的約定價(jià)格在預(yù)先確定的日期重新確定 ， 梯形期權(quán)則可以多次在達(dá)到預(yù)先定好的資產(chǎn)價(jià)格水平時(shí)重新約定價(jià)格 。 有了可擴(kuò)展期權(quán)就可以不再經(jīng)常更換期權(quán) ， 從而降低避險(xiǎn)成本 。就像二進(jìn)制數(shù)那樣 ， 非 0即 1， 所以才有此名 。 主要包括： 返回章 ? 一 、 合同條款變化型期權(quán) ——由于標(biāo)準(zhǔn)條款的一些基本特征的變化而產(chǎn)生的新期權(quán) 。 ? （ 三 ） 無風(fēng)險(xiǎn)利率 ? 從比較靜態(tài)的角度考察 ． 即比較不同利率水平下的兩種均衡狀態(tài) 。 0 5 1 1 0 3 2 4 6 24140ln21??????????????????????d 0 3 1 1 5 1 1 2???d )0 3 1 1 (45)0 5 1 1 (400NeNC??????= 2 6 4 0 4 ?????? 5 9 3 5 4 8 5 6 4 0 4 0?????P 2022/2/16 66 三、期權(quán)價(jià)格的決定因素： ? 從 B—S模型所涉及的變量來看 ， 期權(quán)價(jià)格的決定因素主要有：基礎(chǔ)金融資產(chǎn)的價(jià)格 ， 期權(quán)的行使價(jià)格 ， 無風(fēng)險(xiǎn)利率 ， 到期時(shí)間 ， 基礎(chǔ)金融資產(chǎn)的易變性 。但無論進(jìn)行何種高明的調(diào)整，所計(jì)算出來的結(jié)果反映的都是歷史的易變性?？梢詰?yīng)用歷史資料 來 求出 金融資產(chǎn) 的易變性，我們稱之為歷史易變性，其具體計(jì)算方法需要分四步進(jìn)行計(jì)算： 2022/2/16 62 已知各個(gè)時(shí)期某金融資產(chǎn)的價(jià)格nS ，求出金融資產(chǎn)的相對(duì)價(jià)格1/?nnSS ? 取相對(duì)價(jià)格的自然對(duì)數(shù) )/l n (1?nnSS ? 求出對(duì)數(shù)相對(duì)價(jià)格樣本的均值和方差： 均值 ：NSSNiii????11)/l n (? ， 方差 ：? ?1)/l n (11??????NSSNiii?? N 為所取的樣本數(shù)。 如果SPST?，則SPSSPSTT??? )0,m a x (。 在市場(chǎng)有效的假設(shè)的前提下 ， 可以認(rèn)為股票價(jià)格tS 的對(duì)數(shù)ts （ 小寫 ）遵從隨機(jī)游走 ( r an d om w al k ) 模型 ： tttss ???? 1 其中t?是一個(gè)服從于正態(tài)分布的隨機(jī)誤差項(xiàng) ， 因而它另外的表達(dá)式? ?ttttttssSSSS ??????? 111lnln/ln也服從于正態(tài)分布。但是符合正態(tài)分布的變量一般可以取負(fù)值，但是基礎(chǔ)金融產(chǎn)品的價(jià)格沒有特殊的原因都是取正值的，這不符合正態(tài)分布的要求。 在 B點(diǎn)，按歐式期權(quán)算得期權(quán)價(jià)格為 65 美元，美式期權(quán)是虛值的，取兩者 的最大值，可知對(duì)于美式期權(quán)來講，在 B 點(diǎn)的期權(quán)價(jià)格同樣為 65美元。 2022/2/16 47