【正文】 A ? 力 F在剛體從角 j1轉(zhuǎn)到 j2所作的功為 2112 dzWMjj j? ?Mz可視為作用在剛體上的力偶 a 例 1 如圖所示滑塊重 P＝ N， 彈簧剛度系數(shù) k＝ N/cm， 滑塊在 A位置時(shí)彈簧對(duì)滑塊的拉力為 N，滑塊在 20 N的繩子拉力作用下沿光滑水平槽從位置 A運(yùn)動(dòng)到位置 B， 求作用于滑塊上所有力的功的和 。 M1 M2 ? ds M dr F 力在全路程上作的功等于元功之和 0 c o s dsW F s?? ?上式稱為 自然法表示的功的計(jì)算公式 。同時(shí) ， 它還可以建立機(jī)械運(yùn)動(dòng)與其它形式運(yùn)動(dòng)之間的聯(lián)系 。機(jī)械效率 前兩章是以動(dòng)量和沖量為基礎(chǔ) ， 建立了質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)量的變化與外力及外力作用時(shí)間之間的關(guān)系 。m 。 常見力的功 2) 彈力的功 物體受到彈性力的作用 , 作用點(diǎn)的軌跡為圖示曲線 A1A2, 在彈簧的彈性極限內(nèi) , 彈性力的大小與其變形量 d 成正比 。 2. 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能 質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的算術(shù)和稱為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能 ， 即 221ii vmT ?? 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能 剛體是工程實(shí)際中常見的質(zhì)點(diǎn)系 ， 當(dāng)剛體的運(yùn)動(dòng)形式不同時(shí) ， 其動(dòng)能的表達(dá)式也不同 。 解：在橢圓規(guī)系統(tǒng)中滑塊 A和 B作平動(dòng) ， 曲柄OC作定軸轉(zhuǎn)動(dòng) ， 規(guī)尺 AB作平面運(yùn)動(dòng) 。 對(duì)上式積分 ， 得 1212 WTT ??? 質(zhì)點(diǎn)系在某一運(yùn)動(dòng)過程中 ， 起點(diǎn)和終點(diǎn)的動(dòng)能的改變量 ， 等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的全部力在這一過程中所作的功之和 。 初始鏈條靜止 ， 在自重的作用下運(yùn)動(dòng) 。系統(tǒng)從靜止開始運(yùn)動(dòng)，求圓柱中心 C經(jīng)過路程 S 時(shí)的速度。 Ⅰ Ⅱ M1 M2 解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象 2222112121210?? JJTT???21121221jj?? ???RRi由運(yùn)動(dòng)學(xué)可知： 21212212 )(21 ?iJJT ??主動(dòng)力的功： 11221221112 )( jjj iMMMMW ????由動(dòng)能定理得： 112212121221 )(0)(21 j?iMMiJJ ????將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并注意 1111 , ?ja? ??dtddtd解得： )()( 2122112211 iJJiMM ???aⅠ Ⅱ M1 M2 例 11 兩根完全相同的均質(zhì)細(xì)桿 AB和 BC用鉸鏈 B連接在一起 ， 而桿 BC則用鉸鏈 C連接在 C點(diǎn)上 ， 每根桿重 P＝ 10 N， 長(zhǎng) l＝ 1 m， 一彈簧常數(shù) k＝ 120 N/m的彈簧連接在兩桿的中心 ， 如圖所示 。 重物 B與水平面間的動(dòng)摩擦系數(shù)為 f 39。功率方程 解：車床正常工作時(shí)，工件勻速旋轉(zhuǎn)，動(dòng)能無變化 0dd ＝tT 無用輸入有用 －＝ PPPkW45 .＝輸入P kW62130 .% ??輸入無用 ＝ PP其中 kW783 .?無用輸入有用 －＝ PPP切削力 F 與工件在切削力作用點(diǎn)的速度 v 同向 30π2ndFFvP ????? vF＝有用 有用PdnF π60?切削力 F 與工件在切削力作用點(diǎn)的速度 v 同向 30π2ndFFvP ????? vF＝有用 有用PdnF π60?當(dāng) n = 42 r/min 時(shí) 60 .. ?????F當(dāng) n = 112 r/min 時(shí) 60 .. ?????F167。 ● 機(jī)械能守恒 — 系統(tǒng)僅在有勢(shì)力作用下運(yùn)動(dòng)時(shí)， 其機(jī)械能保持恒定。已知外力求質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心運(yùn)動(dòng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。在用動(dòng)能定理或功率方程求解時(shí)，不作功的未知力在方程中不出現(xiàn)，給問題的求解帶來很大的方便。 01 ?T桿作定軸轉(zhuǎn)動(dòng) ， 轉(zhuǎn)動(dòng)到任一位置時(shí)的動(dòng)能為 222222 181)32(1212121 ?? mlllmmlJTO ??????? ????在此過程中所有的力所作的功為 js i n6112 m glm ghW ???j C O mg 解法 1：用動(dòng)能定理求運(yùn)動(dòng) 以桿為研究對(duì)象 。B F39。 試求圓盤到達(dá)最高位置時(shí) ， 軸承O的約束反力 。 桿運(yùn)動(dòng)到任一位置 (與水平方向夾角為 ? )時(shí)的角速度為 2c o sCCvvC P l? ???此時(shí)桿的動(dòng)能為 2222 )c os311(212121CCC vmJmvT ?? ????初動(dòng)能為零 ， 此過程只有重力作功 ， 由 )s i n1(2)c os3 11(21 22 ?? ??? lmgvm C當(dāng) ?＝ 0176。 代入 (*)式得 c o sc o sO x r ea a ara?a?????。 質(zhì)量為 m2的均質(zhì)圓柱體 O由靜止沿斜面 AB向下滾動(dòng)而不滑動(dòng) 。 21222 0 ( 2 2 2 )22 kW M m gR R RM m gR k R????? ? ? ? ???? ? ?M O C A C A a y x M mg F FOx FOy O ? 45176。 解：以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象 ， 受力如圖 ， 運(yùn)動(dòng)分析如圖 。 t n 23c o s s in ( 1 3 s in )4C y C Cga a aj j j? ? ? ? ? ?t n 3s in c o s s in c o s4C x C Cga a aj j j j? ? ? ? ?質(zhì)心加速度有切向和法向分量： at C an C t c o s4Cga O C aj? ? ?n2 s in2Cga O C ?j? ? ?將其向直角坐標(biāo)軸上投影得： C O mg x y aCx aCy FOy FOx 23 ( 1 3 s in )4Oymg F m gj? ? ? ?3 s in c o s4 Oxmg Fjj??由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 得： 解得： 3 si n 28OxmgF j??2( 1 9 sin )4OymgF j??,Cx x Cy ym a F m a F? ? ? ?B A 例 15 物塊 A和 B的質(zhì)量分別為 m m2， 且 m1＞ m2 ，分別系在繩索的兩端 ， 繩跨過一定滑輪 ， 如圖 。 對(duì)于剛體的平面運(yùn)動(dòng)問題 ， 可用平面運(yùn)動(dòng)微分方程求解 。若質(zhì)點(diǎn)系所受外力的主矢為零或在某軸上的投影為零，則可用動(dòng)量守恒定律求解。 但每一定理又只反映了這種關(guān)系的一個(gè)方面 ， 即每一定理只能求解質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)某一方面的問題 。勢(shì)能 ?jd MdtdMtWP ???? d 作用在轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的力矩或力偶矩的功率等于 力矩或力偶矩與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的標(biāo)積。 2012AT m v?D A B 2v0 C v0 2 2 200211( ) ( )22CC CvT M r M vr??22001 ( 2 ) 22BT m v m v??2107 1 04A B C DMmT T T T T v?? ? ? ? ?2 2 2 20001 1 1 3( ) ( )2 2 2 4DD DvT M v M r M vr? ? ? 系統(tǒng)受力如圖所示 ， 設(shè)重物 A下降 h高度時(shí) ， 其速度增大一倍 。時(shí)彈簧不伸長(zhǎng) ， 一力 F＝ 10 N作用在 AB的 A點(diǎn) ， 該系統(tǒng)由靜止釋放 ， 試求 ? ＝ 0186。系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過程中所有力所作的功為 sgmRsMW ???? as i n2112系統(tǒng)在初始及終了兩狀態(tài)的動(dòng)能分別為 01 ?T 2 2 22 1 1 2 21 1 12 2 2CCT I m v I??? ? ?a FN FS m2g m1g FOx FOy M O C 其中 21 1 1I m R? 22212CI m R?11 RvC??22 RvC??于是 )32(4 2122 mmvT C ??由 1212 WTT ???得 sgmRsMmmv C ????? as i n0)32(4 21212解之得 )32()s i n(221112mmR