【正文】 角形與向量的綜合在三角形的正弦定理與余弦定理在教材中是利用向量知識(shí)來(lái)推導(dǎo)的，說(shuō)明正弦定理、要求根據(jù)向量的關(guān)系解答相關(guān)的問(wèn)題.【例6】　已知角A、B、C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，其對(duì)邊分別為a、b、c，若＝(－cos，sin)，＝(cos，sin)，a＝2，且2010年高考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)資料（共分五大專(zhuān)題）專(zhuān)題一：三角與向量的交匯題型分析及解題策略專(zhuān)題二：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的交匯題型分析及解題策略專(zhuān)題三：數(shù)列與不等式的交匯題型分析及解題策略專(zhuān)題四：解析幾何綜合題型分析及解題策略專(zhuān)題五：概率與統(tǒng)計(jì)綜合性題型分析及解題策略專(zhuān)題一：三角與向量的交匯題型分析及解題策略【命題趨向】三角函數(shù)與平面的向量的綜合主要體現(xiàn)為交匯型，在高考中，主要出現(xiàn)在解答題的第一個(gè)試題位置上，其難度中等偏下，分值一般為12分，交匯性主要體現(xiàn)在：三角函數(shù)恒等變換公式、性質(zhì)與圖象與平面的向量的數(shù)量積及平面向量的平行、垂直、夾角及模之間都有著不同程度的交匯，(5分)，考查三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性與向量平移、08年山東文第8題理第15題(5分)考查兩角和與差與向量垂直、08福建文理第17題(12分)考查三角函數(shù)的求值與向量積、07的天津文理第15題(4分)、誘導(dǎo)公式的運(yùn)用、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、向量的數(shù)量積、共線(平行)與垂直的充要條件條件．主要考查題型：(1)考查純?nèi)呛瘮?shù)函數(shù)知識(shí)，即一般先通過(guò)三角恒等變換公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，再求三角函數(shù)的值或研究三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)；(2)考查三角函數(shù)與向量的交匯，一般是先利用向量知識(shí)建立三角函數(shù)關(guān)系式，再利用三角函數(shù)知識(shí)求解；(3)考查三角函數(shù)知識(shí)與解三角形的交匯，也就是將三角變換公式與正余弦定理交織在一起.【考試要求】1．理解任意角的正弦、余弦、正切的定義．了解余切、正割、余割的定義．掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式．掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式．了解周期函數(shù)與最小正周期的意義．2．掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．3．能正確運(yùn)用三角公式進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和恒等式證明．4．理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，會(huì)用“五點(diǎn)法”畫(huà)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的簡(jiǎn)圖，理解A，ω，φ的物理意義．5．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運(yùn)用它們解斜三角形．6．掌握向量的加法和減法．掌握實(shí)數(shù)與向量的積，理解兩個(gè)向量共線的充要條件．7．，掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算．8．掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問(wèn)題，掌握向量垂直的條件．9．掌握平面兩點(diǎn)間的距離公式以及線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，并且能熟練運(yùn)用．掌握平移公式．【考點(diǎn)透視】向量具有代數(shù)運(yùn)算性與幾何直觀性的“雙重身份”，即可以象數(shù)一樣滿足“運(yùn)算性質(zhì)”進(jìn)行代數(shù)形式的運(yùn)算，“角”為自變量的函數(shù)，函數(shù)值體現(xiàn)為實(shí)數(shù)，因此平面向量與三角函數(shù)在“角”，其形式多樣，解法靈活，：1．考查三角式化簡(jiǎn)、求值、證明及求角問(wèn)題.2．考查三角函數(shù)的性質(zhì)與圖像，特別是y=Asin(wx+j)的性質(zhì)和圖像及其圖像變換.3．考查平面向量的基本概念，向量的加減運(yùn)算及幾何意義，此類(lèi)題一般難度不大，主要用以解決有關(guān)長(zhǎng)度、夾角、垂直、平行問(wèn)題等.4．考查向量的坐標(biāo)表示，向量的線性運(yùn)算，并能正確地進(jìn)行運(yùn)算.5．考查平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律(包括坐標(biāo)形式及非坐標(biāo)形式)，兩向量平行與垂直的充要條件等問(wèn)題.6．考查利用正弦定理、余弦定理解三角形問(wèn)題.【典例分析】題型一　三角函數(shù)平移與向量平移的綜合三角函數(shù)與平面向量中都涉及到平移問(wèn)題，雖然平移在兩個(gè)知識(shí)系統(tǒng)中講法不盡相同，但它們實(shí)質(zhì)是一樣的，：(1)平移的方向；(2).【例1】　把函數(shù)y＝sin2x的圖象按向量＝(－，－3)平移后，得到函數(shù)y＝Asin(ωx＋j)(A＞0，ω＞0，|j|＝)的圖象，則j和B的值依次為 （ ）A．，－3 B．，3 C．，－3 D．－，3【分析】　根據(jù)向量的坐標(biāo)確定平行公式為，由此確定平移后的函數(shù)解析式，經(jīng)對(duì)照即可作出選擇.【解析1】　由平移向量知向量平移公式，即，代入y＝sin2x得y162。＝．（Ⅰ）若△ABC的面積S＝，求b＋c的值．（Ⅱ）求b＋c的取值范圍．【分析】　第(Ⅰ)小題利用數(shù)量積公式建立關(guān)于角A的三角函數(shù)方程，再利用二倍角公式求得A角，然后通過(guò)三角形的面積公式及余弦定理建立關(guān)于b、c的方程組求取b＋c的值；第(Ⅱ)小題正弦定理及三角形內(nèi)角和定理建立關(guān)于B的三角函數(shù)式，進(jìn)而求得b＋c的范圍.【解】　（Ⅰ）∵＝(－cos，sin)，＝(cos，sin)，且＜0，則△ABC是 （ ） A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．任意三角形4．設(shè)＝(,sina)，＝(cosa,)，且∥，則銳角a為 （ ）A．30176。,cos20176。＝cos40176。＝sinθ＋|sinθ|，∵θ∈(π，)，∴|sinθ|＝－sinθ，∴＝－5222。＝cacosB，又＝0，從而(2b－c)cosA－acosC＝0，由正弦定理得2sinBcosA－sinCcosA－sinAcosC＝0∴2sinBcosA－sin(A＋C)＝0，2sinBcosA－sinB＝0，∵A、B∈(0，π)，∴sinB≠0，cosA＝，故A＝.(Ⅱ)y＝2sin2B＋2sin(2B＋)＝(1－cos2B)＋sin2Bcos＋cos2Bsin＝1＋sin2B－ cos2B＝1＋sin(2B－).由(Ⅰ)得，0＜B＜，－＜2B－＜，∴當(dāng)2B－＝，即B＝時(shí)，y取最大值2.22．【解】（Ⅰ）假設(shè)∥，則2cosx(cosx＋sinx)－sinx(cosx－sinx)＝0，∴2cos2x＋sinxcosx＋sin2x＝0，2(x)＞0，則f(x)在區(qū)間D上為增函數(shù)，由此進(jìn)一步得到導(dǎo)函數(shù)f162。(x)的圖象哪些區(qū)間在大于零的區(qū)間？哪些部分昌小于零的區(qū)間？【例2】　設(shè)f162。(x)＞0(f162。(x)＝求得兩根為x＝，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，)上遞增，在區(qū)間(，)上遞減，在區(qū)間(，＋∞)上遞增.(Ⅱ)由(Ⅰ)得，且a2＞3，解得a≥2.【點(diǎn)評(píng)】　，因此解答第(Ⅰ)(Ⅱ)小題的解答是根據(jù)第(Ⅰ)小題的結(jié)果，(Ⅱ)小題還是利用函數(shù)在已知區(qū)間上減函數(shù)建立不等式來(lái)求解.題型三　求函數(shù)的極值問(wèn)題極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)一定為0，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，：(1)根據(jù)函數(shù)解析式求極值；(2).【例4】　(08(－c)＝0及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可解決第（Ⅰ）小題；而解答第（Ⅱ）小題須對(duì)k與c進(jìn)行分類(lèi)討論進(jìn)行解答.【解】　(Ⅰ)f162。(x)＝0的根含有參數(shù)，再比較其與區(qū)間端點(diǎn)值的大小來(lái)求解的，而是利用函數(shù)單調(diào)性來(lái)求函數(shù)在各單調(diào)區(qū)間上的最值，再比較這些最值大小來(lái)求解的.題型五　導(dǎo)數(shù)與數(shù)學(xué)建模的問(wèn)題此類(lèi)試題主要是利用函數(shù)、不等式與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合設(shè)計(jì)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，旨在考查考生在數(shù)學(xué)應(yīng)用方面閱讀、理解陳述的材料，能綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力，這是高考中的一個(gè)熱點(diǎn).【例7】　(08(x)=－=(0＜x≤120)，令h162。(x)在(a，b)(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)有極小值點(diǎn) （ ）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)8．函數(shù)f(x)(x∈R)的圖象如圖所示，則函數(shù)g(x)＝f(logax)(0＜a＜1)的單調(diào)減區(qū)間是（ ）A．[0，] B．(－∞，0)∪[，＋∞)C．[，1] D．[，]8．函數(shù)y＝xcosx－sinx在下面哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)（ ）A．(，) B．(π，2π)C．(，) D．(2π，3π)9．下列圖象中，有一個(gè)是函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的導(dǎo)函數(shù)f162。(x)＜0，g162。x2＝1.2．C 【解析】∵f162。(x)的圖象與x軸有A、B、O、C四個(gè)交點(diǎn). 其中在A、C處f162。(x)＜0.12．B 【解析】令F(x)＝xf(x)，則F162。(x)＝3x2＋2bx＋c ∵f(x)在[－1，2]上減，∴f162。(x)＋00f(x)↗極大值↘極小值↗從上表可知，函數(shù)f(x)在(－∞,0)上單調(diào)遞增；在(0,a－1)上單調(diào)遞減；在(a－1,＋∞)上單調(diào)遞增.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)a＝1時(shí)，函數(shù)f(x)沒(méi)有極值.；當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f(x)在x＝0處取得極大值，在x＝a－1處取得極小值1－(a－1)3.18．【解】　(Ⅰ)f(x)＝ax3－3x，f162。(1)=6，∴，即，解得b=c=3，故所求的解析式是f(x)＝x33x23x+2.（Ⅱ）f162。(x)＝logae＋2，∵函數(shù)f(x)和g(x)的圖象在x＝2處的切線互相平行，f162。 4．理解不等式的性質(zhì)及其證明． 5．掌握兩個(gè)（不擴(kuò)展到三個(gè)）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用． 6．掌握分析法、綜合法、比較法證明簡(jiǎn)單的不等式． 7．掌握簡(jiǎn)單不等式的解法及理解不等式│a│－│b│≤│a+b│≤│a│+│b│．【考點(diǎn)透視】1．以客觀題考查不等式的性質(zhì)、解法與數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列的簡(jiǎn)單交匯.2．以解答題以中檔題或壓軸題的形式考查數(shù)列與不等式的交匯，還有可能涉及到導(dǎo)數(shù)、解析幾何、三角函數(shù)的知識(shí)等，深度考查不等式的證明(主要比較法、綜合法、分析法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法)和邏輯推理能力及分類(lèi)討論、化歸的數(shù)學(xué)思想，試題新穎別致，難度相對(duì)較大.3．將數(shù)列與不等式的交匯滲透于遞推數(shù)列及抽象數(shù)列中進(jìn)行考查，主要考查轉(zhuǎn)化及方程的思想.【典例分析】題型一　求有數(shù)列參與的不等式恒成立條件下參數(shù)問(wèn)題求得數(shù)列與不等式綾結(jié)合恒成立條件下的參數(shù)問(wèn)題主要兩種策略：(1)若函數(shù)f(x)在定義域?yàn)镈，則當(dāng)x∈D時(shí)，有f(x)≥M恒成立219。()n2＋a－3≥0，∴a≥－9，綜上，所求的a的取值范圍是[－9，＋∞]．【點(diǎn)評(píng)】　一般地，如果求條件與前n項(xiàng)和相關(guān)的數(shù)列的通項(xiàng)公式，應(yīng)當(dāng)引起重視.題型二　數(shù)列參與的不等式的證明問(wèn)題此類(lèi)不等式的證明常用的方法：(1)比較法，特別是差值比較法是最根本的方法；(2)分析法與綜合法，一般是利用分析法分析，再利用綜合法分析；(3)放縮法，主要是通過(guò)分母分子的擴(kuò)大或縮小、項(xiàng)數(shù)的增加與減少等手段達(dá)到證明的目的.【例3】　已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，a3＝7，S4＝24．(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)設(shè)p、q都是正整數(shù)，且p≠q，證明：Sp+q＜(S2p＋S2q)．【分析】　根據(jù)條件首先利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)公式和建立方程組即可解決第(Ⅰ)小題；第(Ⅱ)小題利用差值比較法就可順利解決.【解】?。á瘢┰O(shè)等差數(shù)列{an}的公差是d，依題意得，解得，∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1.（Ⅱ）證明：∵an＝2n＋1，∴Sn＝＝n2＋2n．2Sp+q－(S2p＋S2q)＝2[(p＋q)2＋2(p＋q)]－(4p2＋4p)－(4q2＋4q)＝－2(p－q)2，∵p≠q，∴2Sp+q－(S2p＋S2q)＜0，∴Sp+q＜(S2p＋S2q)．【點(diǎn)評(píng)】　利用差值比較法比較大小的關(guān)鍵是對(duì)作差后的式子進(jìn)行變形，途徑主要有：（1）因式分解；（2）化平方和的形式；（3）如果涉及分式，則利用通分；（4）如果涉及根式，則利用分子或分母有理化.【例4】　(08λ2－4λ＋9＝λ2－4λ219。[1－(－)n]要使a＜Sn＜b對(duì)任意正整數(shù)n成立，即a＜－－(λ＋18)四川高考)設(shè)等差數(shù)列{an}的前項(xiàng)和為Sn，若S4≥10，S5≤15，則a4的最大值為_(kāi)_____.【分析】　根據(jù)條件將前4項(xiàng)與前5項(xiàng)和的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于首項(xiàng)a1與公差d的不等式，然后利用此不等關(guān)系確定公差d的范圍，由此可確定a4的最大值.【解】　∵等差數(shù)列{an}的前項(xiàng)和為Sn，且S4≥10，S5≤15，∴，即，∴，∴≤a4≤3＋d，則5＋3d≤6＋2d，即d≤1.∴a4≤3＋d≤3＋1＝4，故a4的最大值為4.【點(diǎn)評(píng)】　本題最值的確定主要是根據(jù)條件的不等式關(guān)系來(lái)求最值的，其中確定數(shù)列的公差d是解答的關(guān)鍵，同時(shí)解答中要注意不等式傳遞性的應(yīng)用.【例6】　等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1＝2002，公比q＝－．(Ⅰ)設(shè)f(n)表示該數(shù)列的前n項(xiàng)的積，求f(n)的表達(dá)式；(Ⅱ)當(dāng)n取何值時(shí)，f(n)有最大值．【分析】　第(Ⅰ)小題首先利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列{an}的通項(xiàng)，再求得f(n)的表達(dá)式；第(Ⅱ)小題通過(guò)商值比較法確定數(shù)列的單調(diào)性，再通過(guò)比較求得最值.【解】　(Ⅰ)an＝2002f(x)max≤M；(2)利用等差數(shù)列與等比數(shù)列等數(shù)列知識(shí)化簡(jiǎn)不等式，再通過(guò)解不等式解得.【例1】　等比數(shù)列{an}的公比q＞1，第17項(xiàng)的平方等于第24項(xiàng)，求使a1＋a2＋…＋an＞＋＋…＋恒成立的正整數(shù)n的取值范圍.【分析】　利用條件中兩項(xiàng)間的關(guān)系，尋求數(shù)列首項(xiàng)a1與公比q之間的關(guān)系，再利用等比數(shù)列前n項(xiàng)公式和及所得的關(guān)系化簡(jiǎn)不等式，進(jìn)而通過(guò)估算求得正整數(shù)n的取值范圍.【解】　由題意得：(a1q16)2＝a1q23，∴a1q9＝1.由等比數(shù)列的性質(zhì)知：數(shù)列{}是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，要使不等式成立，則須＞，把a(bǔ)＝q18代入上式并整理，得q18(qn－1)＞q(1－)，qn＞q19，∵q＞1，∴n＞19，故所求正整數(shù)的取值范圍是n≥20.【點(diǎn)評(píng)】　本題解答數(shù)列與不等式兩方面的知識(shí)都用到了，主要體現(xiàn)為用數(shù)列知識(shí)化簡(jiǎn)，、方程思想及估算思想的應(yīng)用.【例2】?。?8(2)，∴l(xiāng)ogae＝logae，t＝6.(Ⅱ)∵t＝6，∴F(x)＝g(x)－f(x)＝2loga(2x＋4)－logax＝loga，x∈[1，4]，令h(x)＝＝4x＋，x∈[1，4]，∴h162。(x)＞0；當(dāng)1＜x＜1+時(shí)，f162。(1)＝0，∴a＝2；(Ⅱ)①當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝－3x2在區(qū)間（－1，0）上是增函數(shù)，∴a＝0符