條件概率的性質(zhì)及其應(yīng)用——畢業(yè)論文(完整版)
【正文】 nFF（ AB）（ B） 這個式子告訴我們，如何去定義 P(A|B)。顯然1 a( )=a+bPA 。 例 2 設(shè)一批產(chǎn)品總共有 N 件，其中有 M 件產(chǎn)品是次品，不放回地抽取三件，試求第三件猜抽到的是正品的概率。代入 ? ? ? ? ? ?2nnn = 1=|P A P H P A H?中便得到 ? ? a c + 1 b c=+a + b c + d + 1 a + b c + d + 1PA ac+bc+a= (a+b)(c+d+1) 例 2 某個工廠有四條流水線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，該四條流水線的產(chǎn)量分別占產(chǎn)量的 15%、 20%、 30% 和 35%，又這四條流水線的不合格品率依次為 、 、 。 2 2 2( ) ( ) ( | ) 0 4 08P A B P B P A B? ? ? ? 222 41( ) ( | ) ( | ) ( ) ( | )iiiP B P A BP B AP B P A B?? ? ?? 由此可知，第二條流水線應(yīng)該負(fù)有 %的責(zé)任。 例子 有朋自遠(yuǎn)方來，他乘坐火車來的概率是 310 ，乘船來，或者乘坐汽車來，或者乘坐飛機(jī)來的概率分別是 15， 110 ， 25 ，如果他乘坐火車來，遲到的概率是 14 ；如果他乘坐船或者乘坐汽車，那么遲到的概率分別為 13 ，112 ； 如果乘坐飛機(jī)來便不會遲到（因而。是概率論中的重要研究方向之一。隨機(jī)地抽取一個球。在效果上看，每一次取出的球是什么顏色增加了下一次也取到這種顏色球的概率，因此，我們得帶到了類似傳染病的一個模型，在這其中，每一次傳染以后都增加再傳染的概率。因此可以得到抽出 1n 個黑球和 2n 個紅球的所有可能的抽取方式具有不同的概率，這為波利亞罐子模型咋分析上的簡明性，分子分母同乘以1nn??????，即是所有的排列的數(shù)目，利 用廣義二項(xiàng)式系式得到下列形式： 1121 2 1 2,111 ( ) ( + )nnn b c n r c b c r cn n n npn b r c b c cnn? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 配對問題 例 有 n 張信紙，分別標(biāo)號為 1， 2， 3， ? ， n，另外有 n 個信封也同樣標(biāo)號，今將每一張信紙任意的裝入每一個信封中，試求“沒有一個配對”的概率 0q及“恰有 r 個配對成功”的概率 rq （ rn? ），這里說的“ r 個配對”是指的是有 r張信紙，分別裝入同號碼的信封。 C和 d可以取為負(fù)數(shù)，不過在這種情形下經(jīng)過有限次取球之后會因?yàn)闆]有了球而停止。 解 先求對立事件的概率，事件 B：“取出的全部是黑球”的概率是 bnqabn??????? ??????? 所以 ( 1 ) ( 1 )11 ( ) ( 1 ) ( 1 )b b b npq a b a b a b n? ??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? 還可以用另一個讓發(fā)求得 p ：同時取出 n個球可以看 成不還原地連續(xù)取出 n次，每次取出一個球。結(jié)果他是遲到了，試問在此條件下，他乘坐的是火車的概率是多少？ 解 以事件 A 表示“遲到”， 1 2 3 4H H H H ， ， ，分別表示“乘坐火車”“乘船”“乘坐飛機(jī)”，這樣于是 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?111 1 1 2 2 3 3 4 4( | )|= ( | ) + ( | ) + ( | ) + ( | )P H P A HP H A P H P A H P H P A H P H P A H P H P A H 3110 4= 3 1 1 1 1 1 2+ + + 110 4 5 3 10 12 5?? ? ? ? 注意 ? ?1 1|=2P H A 與 ? ?1 3=10PH是不同的。 上面的計(jì)算中實(shí)際上已經(jīng)建立了一個非常有用的公式常常稱為貝葉斯公式。這是題目中告訴我們的。這個公式中的條件概率不要從定義出發(fā)來求，而應(yīng)從該條件所限制的一個較小樣本空間內(nèi)來求古典概率。 于是由概率的乘法公式得 1 2 3 a a 1 a 2( ) = a + b a + b 1 a + b 2P A A A ?? 注： 這個例子中隨機(jī)試驗(yàn) ~E 是復(fù)合的： ~E = 1 2 3E E E?? 。 在事件 B 已出現(xiàn)的條件下，事件 A 出現(xiàn)的概率 P(A|B)定義為 P(A|B)= ()()PABPB 對于古典類型的隨機(jī)試驗(yàn)，設(shè) B 含有 m 個不同的基本事件， m0 ， AB 含有 k 個，以 n 表示 Ω中總共不同的基本事件的個數(shù)，則 P(A|B)= knmn= km 類似的可以知道，對于幾何隨機(jī)試驗(yàn)，例如 F(B)0 ，我們有這樣的式子 P(A|B)= ( ) ( )( ) ( )F AB FF B F ??= ? ?? ?LABLB 容易驗(yàn)證，條件概率具有概率定義中的三個基本性質(zhì)： 如果 P(B)0 ,那么 P（ A|B）作為 A 的集函數(shù)是 F 上的概率；即 （ 1） 對每個 A?F，有 1? P（ A|B） ? 0 ； （ 2） P（ ? |B） =1 ； （ 3）如 mA ?F， m=1， 2， … . ，兩兩互不相容，則有 mmm = 1m = 1( | ) ( | )P A B P A B? ?? ? 現(xiàn)在對上面的三個性質(zhì)進(jìn)行證明： 證 （ 1）因 ?P（ B) P(AB) ， P（ B) 0 ，故由（ 3）知 1? P（ A|B） ? 0 （ 2） ( | )PB? = ()()PBPB?= ()()PBPB=1
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