條件概率的性質(zhì)及其應(yīng)用——畢業(yè)論文-文庫吧
2024-12-28 05:08 本頁面
【正文】 定理 1 設(shè) 1A ， 2A ， … .， nA 為 n 個事件， n ? 2，滿足 1 2 n1()P A A A??? 0 ；則 1 2 n()P AA A??? = 1 2 1 3 1 2 n 1 2 n 1( ) ( | ) ( | ) ( | )P A P A A P A A A P A A A A??? ??? 上式稱為乘法公式。它的直觀意義是： 1A ， 2A ， … .， nA 同時出現(xiàn)的概率，等于出現(xiàn) 1A ，在 1A 出現(xiàn)的條件下出現(xiàn) 2A ，在 1A ， 2A 出現(xiàn)的條件下出現(xiàn) 3A ， ???各自的概率的乘積 。 證 由于 1()PA ? 12()PAA ? ??? ? 1 2 n1()P A A A??? 0 ，故 1 2 n()P AA A??? = 1 2 1 3 1 2 n 1 2 n 1( ) ( | ) ( | ) ( | )P A P A A P A A A P A A A A??? ???右方 出現(xiàn)的條件概率都有意義；由條件概率的定義有 1 2 31 2 1 2 n1 1 2 n1 1 2 1 2 n 1()( ) ( )( ) = ( )( ) ( ) ( )P A A AP A A P A A AP A P A A AP A P A A P A A A?????? ?????? 例 1 設(shè)箱子內(nèi)有 a（ a? 2）個白球 b個黑球，在其中接連取三次，每一次取出一個球，取球后不還原，問三個取出來 的求都是白球的概率是多少？ 解 以 iA 表示“第 i 次取得白球”這一個事件， i= 要求的是1 2 3()P AAA 。因為 12a2( )= 0a+b2P A A????????????? 故可用 1 2 n()P AA A??? = 1 2 1 3 1 2 n 1 2 n 1( ) ( | ) ( | ) ( | )P A P A A P A A A P A A A A??? ??? 。顯然1 a( )=a+bPA 。如已知第一次取得白球，箱內(nèi)只剩下 a1 個白球 b 個黑球，可見21 a1( | )= a1 + bP A A （ ） ，類似得 3 1 2( | )P A AA = a2a2 +b（ ） 。 于是由概率的乘法公式得 1 2 3 a a 1 a 2( ) = a + b a + b 1 a + b 2P A A A ?? 注： 這個例子中隨機(jī)試驗 ~E 是復(fù)合的： ~E = 1 2 3E E E?? 。 1? 共含有 a+b 個 1? ，2? 共含有 a+b1 個 2? ， 3? 共含有 a+b2 個 3? ， 1A =（ 白球，球，球 ） ， 2A =（ 球，白球，球 ） ， 3A =（ 球，球，白球 ） ，這 里“球”不論是白或者黑均可。事件 1A 對第一次試 驗的結(jié)果加了條件，1 a( )=a+bPA 。如已知 1A 出現(xiàn)，那么 2? 由 a1 個白球 b 個黑球組成，所以21 a1( | )= a1 + bP A A （ ） 。 如已知前二次都是得到的白球，則 3? 由 a2 個白球 b 個黑球構(gòu)成，所以 3 1 2( | )P A AA = a2a2 +b（ ） 。 注意到隨機(jī)試驗 2E 依賴于隨機(jī)試驗 1E 后的結(jié)果 ，隨機(jī)試驗 3E 依賴于隨機(jī)試驗 1E 和隨機(jī)試驗 2E的結(jié)果，所以 說 1E 、 2E 、 3E 都是相依的隨機(jī)試驗。 例 2 設(shè)一批產(chǎn)品總共有 N 件，其中有 M 件產(chǎn)品是次品，不放回地抽取三件，試求第三件猜抽到的是正品的概率。 解 令 iA =｛抽到的第 i 件是正品｝， i= 3 于是 iA 表示抽到的第 i 件是次品，故所求的概率是 1 2 3 1 2 1 3 1 2( ) ( ) ( | ) ( | )P A A A P A P A A P A A A? 112M M N MN N N??? ? ? ? ?? ?( 1)( )12M M N MN N N??? 注： 上例中的概率 1 2 3()P AAA 也可以直接用古典方法求得，但是不如使用乘法公式簡單方便。這個公式中的條件概率不要從定義出發(fā)來求，而應(yīng)從該條件所限制的一個較小樣本空間內(nèi)來求古典概率。 概率的全概率公式 定理 2 設(shè) 1H ， 2H ， ???為有窮或者可列多 個互不相容的事件，nn()PH=1，? ?nPH 0， （ n=1， 2， 3， ???），則對任何一個事件，有 ? ? ? ?nn=|nP P H P A H?（ A） . 上面的式子稱為全概率公式。 證明 ：由于nn()PH=1 得到nnPH??????（ ）=0 。因為 nH 互不相容 ，故 nAH 也互不相容， n=1， 2， 3， ???，于是 ? ? ? ?=P A P A? =nnnn( ) +P A H P A H? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?（ ） = ? ?nnn( ) = nP A H P A H? 由條件概率的乘法公式 ? ? ? ? ? ?n n n=|P A H P H P A H；帶入 上面的式子 得到? ? ? ?nn=|nP P H P A H?（ A） 例 1 設(shè)甲盒子中有 a 個白球 b 個黑球， a0， b0，乙盒子中有 c 個白球 d個黑球，自甲盒子中任意取一球放入乙盒子中，然后再從乙盒子中任取一球，試求事件 A：“從乙盒子中取得的球為白球”的概率。 解 以 ? ?12HH表事件“自甲盒子中取出的球為白（黑）球”，顯然 12HH =? ，12=HH??，所以 ? ?12P H H? =1，又 ? ?1 a= a+bPH 0 ? ?2 b= a+bPH 0 ，由全概率公式 ? ? ? ? ? ?2 nnn = 1=|P A P H P A H? 。 但是如 1H 出現(xiàn)
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