數(shù)學(xué)分析中極限問(wèn)題及淺析(完整版)
【正文】 例：設(shè) 證： 當(dāng) x0 = 0 時(shí) 顯然 xn= 0 (n =1. 2.? ) 故： xn = 0 ?? 故可得： 故 xn 是單調(diào)有上界的函數(shù)，從而收斂。這里舉一些比較典型的實(shí)例，希望從中歸納出解決極限問(wèn)題的方法。 下面舉例說(shuō)明求解極限問(wèn)題的若干方法，其主要是根據(jù)極限的定義、運(yùn) 算法則和性質(zhì)、定理，以及數(shù)學(xué)上的其他知識(shí)和技巧。 kXn a ?? ??k 則： ???????? knnn xaxaaxaxn? ?? ??n???????? 2,20 ??x 1sin2 ?? nn xx ??.?n ??nx求證 收斂，并求 lim ??n xn lim ??n? ? ,2,00 時(shí)當(dāng)： ??x 000001 22s i n2s i n2 xxx xxxx ???????? ????? ??????? ? ?? 2s i n2,0( x xx o 時(shí)，容易證明當(dāng)11 1112 s i n2s i n2 xx xxxx ????? ??11 111 s i n2s i n2 ?? ??? ????? nn nnnn xx xxxx ???? ????? nxxxx 210??nx ? ?knxaxim knk ??????nx齊齊哈爾大學(xué)成人高等教育畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）用紙 4 lim ??n aa sin2?? 記 a= xn 由于 又由于方程 所以 當(dāng) 例：設(shè) a 0, xn(n= ?? )為由以下各式： x0 0, 所確定的數(shù)列，求證 證：由假設(shè) x0 0, 又由算術(shù)平均數(shù)和幾何 平均數(shù)之間的關(guān)系得： 由單調(diào)有界原理，則： 將 2 x 0 0 ???? a aaa s in22 ?? ?? 對(duì)滿(mǎn)足等式有唯一解0s in2 ?? xx ?2??a 從而 lim ??n 2??nx時(shí)，同理可得)0,2(x 0 ???lim ??n 2???nx)(21x 1n nn xax ??? (n =0、 2，?? ) lim ??n axn ?axaxxaxxnnnnn?????? )(211?又 1)1(211 2 ????nnn xaxx （ n= ??） nn xx ??1即： （ n= ??） lim ??n ??nx取極限得：)(211 nnn xaxx ???).(21 ??? a?? a??從而：? lim ??n axn ?齊齊哈爾大學(xué)成人高等教育畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）用紙 5 從上面幾個(gè)例子中看出，在某些數(shù)列的極限問(wèn)題中，由數(shù)列各項(xiàng)間的遞推關(guān)系，由單調(diào)有界定理可以比較巧妙地證明極限的存在。 柯西收斂準(zhǔn)則否定形式： 有正整數(shù) mN, nN存在，盡管 mN, nN N , （四） 定積分求極限 由于定積分 [5]是積分和的極限，故此，某些和式問(wèn)題可以化為定積分的計(jì)算，使運(yùn)算得以完成。通常把這種極限叫可能存在、可能不存在或者則極限 ))( )(()( )(0 xg xfimxg xfim xxx ??? ??? ?求極限。 附錄 1 下面一個(gè)定理通常稱(chēng)為海因（ Heine）定理 [7]，它把函數(shù)的極限與數(shù)列的極限溝通起來(lái)。 )(22)( 011 xfimximxfim xxx ??? ??? ??? ???2)(1 xfimx??所
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