[理學(xué)]數(shù)學(xué)分析中期末復(fù)習(xí)(完整版)
【正文】 (1)(2)。( , ) ( , ) ( , ) , 0DDDf x y y f x y f x y f ff x y y f x y f x y f? ? ? ????? ? ? ?????? ????上當(dāng) 是 的 偶 函 數(shù) ， 即 則當(dāng) 是 的 奇 函 數(shù) ， 即 則 。 7(1)(3),(6)(8). 四、 第十二章 多元函數(shù)微分學(xué) 有關(guān)連續(xù)、可偏導(dǎo)與可微的 概念 (1)、 一些 例子 (a)、可偏導(dǎo)但不連續(xù)的例子： 例 002 , ,( , )1, x x y yf x y ???? ?? 或其 它 ，在 00( , )xy 點(diǎn)處 . 例 22 , ( , ) ( 0 , 0) ,( , )0 , ( , ) ( 0 , 0) ,xy xyxyf x yxy? ???? ????在 (0,0) 點(diǎn) . (b)、連續(xù)但不可偏導(dǎo)的例子： 例 , 0( )( , ) , 0 ,0,y x yf x y x y????????即 在 軸 上 ,（ 即 在 x 軸 上 ）其 它 ,在 (0,0)點(diǎn)處 . (c)、可偏導(dǎo)未必可微 的 例 子 例 22 , ( , ) ( 0 , 0) ,( , )0 , ( , ) ( 0 , 0) ,xy xyxyf x yxy? ???? ????在 (0,0) 點(diǎn) .(因?yàn)樵?(0,0) 點(diǎn)不連續(xù)，所以不可微 ). 例 1, 0 0 ,( , )0, xyf x y ???? ?? 或其 它 ，在 (0,0)點(diǎn) . (因?yàn)樵?(0, ) 點(diǎn)不連續(xù)，所以不可微 ). (d)、連續(xù)且可偏導(dǎo)不能導(dǎo)出可微 的 例 子 例 ( , ) ,z f x y xy??在 (0,0) 點(diǎn) . 4 例 22 , ( , ) ( 0 , 0) ,( , )0 , ( , ) ( 0 , 0) ,xy xyz f x y xyxy? ???? ?????在 (0,0) 點(diǎn) . (2)、 若偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù) ,則必可微 . 判斷一個(gè)函數(shù) ( , )z f x y? 在 00( , )xy 處可微的原則與主要步驟如下 : (i) 若函數(shù) ( , )z f x y? 在 00( , )xy 處不連續(xù)或不可偏導(dǎo) (即至少有一個(gè)偏導(dǎo)數(shù)不存在 ),則函數(shù)在 00( , )xy 處必不可微 . (ii) 若函數(shù) ( , )z f x y? 在 00( , )xy 處 連續(xù)且可偏導(dǎo) ,則考察如下的 0 0 0 0 0 0 0 02200( , ) ( , ) ( , ) ( , )l im xyxyf x x y y f x y f x y x f x y yxy????? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ????極 限 為 0則 可 微 ,其 他 情 形 不 可 微 . 關(guān)于方向?qū)?shù) (1)、對(duì)于 12( , , , )nz f x x x? ,在任何一個(gè)定點(diǎn)處有 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù) ? 可微 ? 方向?qū)?shù)處處存在 ,且有1 c o s ,nii iffg ra d f vvx ????? ? ? ? 其中 i? 是 v 與 ix 軸正向的夾角 . 當(dāng) gradf 與 v 同向時(shí) , 方向?qū)?shù)達(dá)到最大其值為 21gr a dni iff x????? ??????, 反向時(shí) 達(dá)導(dǎo) 最小 為21gra dni iff x????? ? ? ??????, 而垂直時(shí)為 0. (2) 對(duì)于分段函數(shù)的分段點(diǎn) ,一定要用定義來(lái)求方向?qū)?shù) . 混合偏導(dǎo)數(shù) 混合偏導(dǎo)數(shù) 0 0 0 0( , ), ( , )xyf x y f x y存在 ,未必相等 。 當(dāng) (0,1]p? 時(shí)都條件收斂的 。法向量 為0( , , ) | .x y z Pn F F F? (ii) 直角坐標(biāo) : ( , ):z z x y? 在 0 0 0 0( , , )P x y z? 點(diǎn) ,法向量 0 0 0 0( ( , ) , ( , ) , 1 )xyn z x y z x y??. (iii) 參數(shù)方程 : ( , ) , ( , ) , ( , )x x u v y y u v z z u v? ? ?， 在參數(shù) 00( , )uv 對(duì)應(yīng)點(diǎn) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0( , , ) ( ( , ) , ( , ) , ( , ) )P x y z x u v y u v z u v? 處 法向量 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )( , , )( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )y z z x x yn u v u v u vu v u v u v? ? ?? ? ? ?. (3) 典型習(xí) 題： p201:1(3),4(3), 5, p202:12. 無(wú)條件極值 6 (1)、概念 (i) 一個(gè)函數(shù)的極值點(diǎn)不一定是最值點(diǎn) 。( , ) ( , ) ( , ) 0DDDf x y f x y f x y f ff x y f x y f x y f? ? ? ? ????? ? ? ? ?????? ????半當(dāng) 是 偶 函 數(shù) ， 即 ， 則當(dāng)
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