【正文】 n n n n nu v u v u v u vu v u v u v u vu v u v u v u vu v u v u v u v? ? ? ??? ? ?????? ? ???? ? ? ?正 方 形 順 序1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 33 1 3 2 3 3u v u v u vu v u v u vu v u v u v對 角 線 順 序1 1 1 2 2 1 1 3 2 2 3 1 . ( 1 5 )u v u v u v u v u v u v? ? ? ? ? ?定理 (柯西定理 ) 若級數(shù) (11)、 (12)都絕對收斂 , 依次相加 ,于是分別有 和 ijuv ? nw則對 (13)中 按任意順序排列所得到的級數(shù) 也絕對收斂 , 且其和等于 AB. *證 ,nnSw以 表示級數(shù) 的部分和 即 ?? ? ? ?2 3 3 3 3 2 3 1 ( 1 4 )u v u v u v u v? ? ? ? ?1 1 1 2 2 2 2 1 1 3u v u v u v u v u v? ? ? ?12 ,nnS w w w?? ( 1 , 2 , , ) ,kkk i jw u v k n其中 記? 1 1 2 2m a x { , , , , , } ,nnm i j i j i j? ? ? ?12 ,mmA u u u? ? ? ?12 ,B v v v? . ( 1 6 )n m mS A B則必有 ? nv與 { } { }nnAB和的部分和數(shù)列 都是有界的 . 由定理?xiàng)l件 ,級數(shù) (11)與 (12)都絕對收斂 , 因而 ? nu{}nS ? nw于是由不等式 (16)知 是有界的 , 從而級數(shù) ? nw .S AB?絕對收斂 . 下面證明 的和 由于絕對收斂級數(shù)具有可重排的性質(zhì) , 即級數(shù)的和 與采用哪一種排列的次序無關(guān) , 為此 , 采用正方形 ? ? ? ? ?1 2 3 , ( 1 7 )np p p p順序并對各被加項(xiàng)取括號 , 即 將每一括號作為一項(xiàng) , 得到新級數(shù) ? ? ? ?1 1 1 2 2 2 2 1()u v u v u v u v? ? ? ? ?1 3 2 3 3 3 3 2 3 1( ) ,u v u v u v u v u v? nw它與級數(shù) nP同收斂 , 且和相同 . 用 表示 (17)的 ? .n n nP A Bl i m l i m l i m l i m .n n n n nn n n nS P A B A B A B? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?nP 與 nnAB與部分和 , 則 有關(guān)系式 : 從而 21 1 , 11nr r r rr ? ? ? ? ? ? ??例 3 等比級數(shù) ? 2()nr是絕對收斂的 . 將 按 (15)的順序排列 , 則得 到 222211 1 ( ) ( ) ( ) ,( 1 )nnnr r r r r r rr?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?21 2 3 ( 1 ) .nr r n r例 4 判別級數(shù) ??? 12s i nn nn的收斂性 . 解 ,1si n22 nnn ?? ,112 收斂而 ??? n,s i n12????n nn 收斂故由定理知原級數(shù)絕對收斂 . 三、阿貝爾判別法和狄利克雷判別法 下面介紹兩個(gè)判別一般項(xiàng)級數(shù)收斂性的方法 . 引理 (分部求和公式 , 也稱阿貝爾變換 ) , ( 1 , 2 , , ) , ,ij v i n?設(shè) 兩組實(shí)數(shù) 若令?? ? ? ? ?12 ( 1 , 2 , , ) ,kkv v v k n?1 2 1 2 3 2 1 11( ) ( ) ( ) . ( 1 8 )n i i n n n n niv? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ??則有如下分部求和公式成立 : 證 ?? ? ? ?1 1 1, ( 2 , 3 , , )k k kv v k n? ? ?以 分別乘以 ?( 1 , 2 , , ) ,k kn? 整理后就得到所要證的公式 (18). ?12( i ) , , , m ax { } 。 3 一般項(xiàng)級數(shù) 一、交錯(cuò)級數(shù) 11 2 3 4 ( 1 ) ( 1 )n nu u u u u?? ? ? ? ? ? ???( 0 , 1 , 2 , ) ,nun若級數(shù)的各項(xiàng)符號正負(fù)相間 , 即 則稱為 交錯(cuò)級數(shù) . 定理 (萊布尼茨判別法 ) 若交錯(cuò)級數(shù) (1)滿足 : ( i ) { } 。nu?則級數(shù) 收斂? 0( ii ) ,nN若對一切 成立不等式1 , ( 10 )n nu ?.nu?則級數(shù) 發(fā)散于情形 (ii), 由 (10)式可得 1 1 .nnu ???? , nnu顯然當(dāng) 時(shí)不可能以零為極限 , 因而由級數(shù) 收斂的必要條件可知 , 級數(shù) nu? 是發(fā)散的 . 證 由 (9)式有 ,nnul? 因?yàn)榈缺燃墧?shù) 11nll當(dāng) ???,時(shí) 收 斂 故由比較原則 , 這時(shí)級數(shù) nu? 也收斂 , 對 li m , ( 11 )n nn ul?? ?( i ) 1 , 。 判別下列級數(shù)的收斂性 : 1 、 ?? ?????n31916131； 2 、 ?? ????????? )3121()3121()3121()3121(3322 nn； 3 、 ?? ???????nn101212014110121 . 練習(xí)題 練習(xí)題答案 1 、發(fā)散； 2 、收斂； 3 、發(fā)散 [ ????nkkn ks12 )10121(] . 作業(yè) 習(xí)題 7 167。913,3411212AAAPP?????面積為周長為依次類推 。如果存在 , “ 和”等于什么 ? 由此可見 ,“ 無限個(gè)數(shù)相加”不能 簡單地與有限個(gè)數(shù)相加作簡單的類比 ,需要建立新 的理論 . 1. 計(jì)算半徑為 R圓的面積 R正六邊形的面積 正十二邊形的面積 1a21 aa ?正 形的面積 n23? naaa ??? ?21naaaA ???? ?21即?? ?????? n103100031003103312.常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念 1 級數(shù)的定義 ?? ?????????nnn uuuuu 3211 (常數(shù)項(xiàng) )無窮級數(shù) 部分和數(shù)列 ???????niinn uuuus121 ?級數(shù)的部分和 ,11 us ? ,212 uus ??,3213 ?uuus ???一般項(xiàng) 2 級數(shù)的收斂與發(fā)散 當(dāng) n 無限增大時(shí) , 如果級數(shù) ??? 1nnu 的部分和數(shù)列ns有極限 s , 即 ssnn???l i m 則稱無窮級數(shù) ??? 1nnu 收斂 , 這時(shí)極限 s 叫做級數(shù) ??? 1nnu 的和 . 并寫成 ?? ?????321 uuus ?? ,21 nn uuus ????即 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂 ( 發(fā)散 ) ? nns??l im 存在 ( 不存在 )余項(xiàng) nn ssr ?? ???? ?? 21 nn uu ?????1iinu即 ss n ? 誤差為 nr )0lim( ??? nn r上述定義很自然，和人們的直觀認(rèn)識(shí)是一致的．它的不足之處是一些很簡單的級數(shù)，在此意義下卻沒有和 .例如級數(shù) 11( 1 ) 1 1 1 1 . . .ni???? ? ? ? ? ??111(){}{}..., 1 , 2 , ..., l i m ,nnnnnnnnnnaSSSSnna????????????????補(bǔ) 充定 義 設(shè) 是 一 個(gè) 無 窮 級 數(shù) ， 是 它 的 部 分和 數(shù) 列 . 如 果 的 算 術(shù) 平 均是 一 個(gè) 收 斂 數(shù) 列 即 就 稱 級 數(shù) 在均 值 意 義 下 收 斂 .11l i m , { }..., 1 , 2 , ....nnnnnnnas S s SSSnns??????????? 容 易 看 出 , 如 果 級 數(shù) 在 原 來 意 義 下收 斂 于 , 即 那 么 的 算 術(shù) 平 均也 以 為 極 限111 2 3 42111( 1 ) { }1 , 0 , 1 , 0 , ...1 1 1, , ,2 2 2 1 21( 1 ) .2nninnniSS S S Snnnnn??????????? ? ? ??? ? ? ? ? ??????例 如 的 部 分 和 數(shù) 列 是因 而 在 原 來 的 意 義 下 是 發(fā) 散 的 . 但 是因 而無窮級數(shù)收斂性舉例： 1904年，瑞典數(shù)學(xué)家科赫（ Koch）做出一 雪花曲線 . 做法：先給定一個(gè)正三角形，然后在每條邊上對 稱的產(chǎn)生邊長為原邊長的 1/3的小正三角形．如此 類推在每條凸邊上都做類似的操作，就得到“ Koch雪花曲線 ” ． 觀察雪花分形過程 。43,311??AP面積為周長為設(shè)三角形觀察雪花分形過程 第一次分叉： 。43,311??AP面積為周長為設(shè)三角形觀察雪花分形過程 第一次分叉： 。 2 正項(xiàng)級數(shù) 收斂性是級數(shù)研究中最基本的問題 , 本節(jié)將對最簡單的正項(xiàng)級數(shù)建立收斂性判別法則 . 一、正項(xiàng)級數(shù)收斂性的一般判別原則 若數(shù)項(xiàng)級數(shù)各項(xiàng)的符號都相同 , 則稱它為同號級數(shù) . 對于同號級數(shù) , 只須研究各項(xiàng)都是由正數(shù)組成的級 數(shù) (稱正項(xiàng)級數(shù) ).若級數(shù)的各項(xiàng)都是負(fù)數(shù) ,則它乘以 1后就得到一個(gè)正項(xiàng)級數(shù) ,它們具有相同的斂散性 . 定理 nu?正項(xiàng)級數(shù) 收斂的充要條件是 :部分和 {}nS數(shù)列 有界 , 即存在某正數(shù) M, 對一切正整數(shù) n 有 ? .nSM??0 ( 1 , 2 , ) ,iui由于證 所以 {Sn}是遞增數(shù)列 .而 單調(diào)數(shù)列收斂的充要條件是該數(shù)列有界 (單調(diào)有界 定理 ).這就證明了定理的結(jié)論 . 僅靠定義和定理 容易的，因此要建立基于級數(shù)一般項(xiàng)本身特性的收 斂性判別法則 . ??nnuv設(shè) 和 是兩個(gè)正項(xiàng)定理 (比較原則 ) 級數(shù) , 如果存在某正數(shù) N, 對一切 n N 都有 ? ( 1 )nnuv則 ( i ) , 。nlu? ?當(dāng) 時(shí) 級數(shù) 收斂( i i ) 1 , .n? ?當(dāng) 時(shí) 級數(shù) 發(fā)散則 證 由 (11)式 , ??1,l?當(dāng)取 時(shí)存在某正數(shù) N,對一切 n N, 有 .n nl u l??? ? ? ?于是由根式判別法就得到推論所要證明的結(jié)論 . 推論 1(根式判別法的極限形式 ) 設(shè) nu? 為正項(xiàng)級 數(shù) ,且 若 (11)式的極限不存在 , 則可根據(jù)根式 n nu 的上極限 來判斷 . 例 8 研究級數(shù) ??? 2 ( 1 )2nn的斂散性