[理學]數(shù)學分析中期末復習-文庫吧在線文庫
【正文】 換元法、與分部積分法 . 若 ()fx連續(xù) , ( ), ( )xx??可導 , 則完整的變上下限求導公式應為 ()() ()xxd f u dudx???= ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) )x f x x f x? ? ? ???? . 直接用這些公式()()()()()()( ) ( ( ) ) ( ( ) )( ) ( ) ( ( ) )( ) ( ) ( ( ) )xxxxxxd f u du f x f xdxd f u du x f xdxd f u du x f xdx????????????? ????? ????? ???????? 都是錯 誤 的 . 2200( 1 ) ! ! , 2 ,! ! 2sin c o s( 1 ) ! ! , 2 1 .!!nnn nknx d x x d xn nkn????? ?????? ???????? sinx 是 2? 偶函數(shù) ,cosx 是 2? 奇函數(shù) ,所以 200s in 2 s in ,nnxd x xd x?? ??? 0 200 , 2 1 ,c os2 c os , 2 ,nnnkx dxx dx n k? ? ????? ????? ?從而再可用如上 3. 記住兩個 Guldin 定理 . Guldin 第一定理 :若平面閉區(qū)域 D 不跨越直線 L , 其面積為 A , 重心到 L 的距離為 d , 則 D 繞直線 L 的旋轉體體積V= 2 dA? ? . Guldin 第二定理：若平面曲 線 ? 不跨越直線 L , 其弧長為 l , 重心到 L 的距離為 d , 則 ? 繞直線 L 的旋轉曲面面積S = 2dl?? . 會做理論證明題 : 上冊 p313: 2124, 26. 二、 第八章 反常積分 ： 記住一些基本結果 : (1)、1 1p dxx??? ,當 1p? 時收斂 ,而當 1p? 時發(fā)散 . 10 1pdxx?,當 1p? 時收斂 ,而當 1p? 時發(fā)散 . 從而0 11,ppdx dxxx?? ??????對于一切 p 都是發(fā)散的 . 2 (2)、11s in c o s,ppkx kxdx dxxx?? ????: 當 1p? 時都絕對收斂的 。但若都連續(xù) ,則必相等 . 復合函數(shù)求導 (1)、復合函數(shù)的求導步驟與要點 :寫出變量關系圖；用復合函數(shù)求導法計算 . 注 若函數(shù)的復合多于兩重 , 則除了對于最終自變量的中間變量要求可偏導外 , 其余的均要求可微：如 1 2 1 2 1 2( , , , ) ( ) ( , , , ) ( ) : ( , , , )l i i m j j nw w u u u u u y y y y y x x x? ? ?可 微 ： 可 微可偏導 , 則可用復合函數(shù)求導法則 . 注 如不加說明 , 則在求導時 , 總認為混合偏導數(shù)可交換次序 . 注 切記 : 對 12( , , , )mw f u u u? ,一階偏導數(shù)i iff u???,二階偏導數(shù) 2ij jiff uu????等永 5 遠是 12( , , , )mu u u 的函數(shù) , 即1 2 1 2( , , , ) , ( , , , ) .i i m ij ij mf f u u u f f u u u?? (4)、 必須掌握的習題： p163: 1 (2)(4)(5)(8)(9). 隱函數(shù)求導 (1) 按題意確定函數(shù)與自變量，再按隱函數(shù)求導法計算。 b) 設 D 關于 y 軸（即 0x? ）對稱，即 ( , ) ( , ) ,x y D x y D? ? ? ?則 ( , ) ( , ) ( , ) , 2 。 4(2)(4)。 5(1)(2)(4)(6)。 但若一個點是函數(shù)的最值點且為函數(shù)定義域的內(nèi)點時 , 則必為極 值點 . (ii) 設 f 定義在 nSR? 上 , 0x 是 S 的內(nèi)點 , 則 0x 是 f 的極值點的必要條件是 : 或者 f 在 0x 處不可偏導 。 即判別奇點的類型 . 是同號函數(shù) (可等同于非負函數(shù) )的反常積分還是任意函數(shù)的反常積分 . 基本習題： p380: 3(1)(3)(4) (2)、 討論任意函數(shù)的反常積分的斂散性 ,必須要到絕對收斂、條件收斂或發(fā)散為止 . 除非是絕對收斂 ,常常要 反常積分的 法 . 教材的習題 下冊 p380: 5 (1)(3) 。 7(3)(6). 證明題 習題 : p381: 10,13, 14. 三、 第十一章 多元函數(shù)的 極限 與 連續(xù) 一些有關二重極限與二次極限概念的例子 (1)、 二重極限不存在的 例子 : 例 22( , ) xyf x y xy? ?在 (0,0) 點處 。 或者 f 在 0x 處可偏導且 0( ) x ? f 的定義域內(nèi)部這兩種點均稱為 f 的極值可疑點 . 因此 ,要尋求 f 的極值點 ,只須從 f 的極值可疑點中去尋求即可 . 駐點可能不是極值點 ,如 ,z xy? 則 ( , ) (0,0)xy? 是駐點 ,但不是極值點 。 6(4)(8)。 2
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