文科考研微積分第一章函數(shù)、極限、連續(xù)(完整版)
【正文】 i m tt tt?20s inlnlimtttt ??20)1s i n1l n(limtttt????201s inlimtttt??? 30s i nl i mtttt??? 20 31c osl i mttt???ttt 6s i nlim0??? ,61??所以 .e)s i n(l i m)(l i m 61111 22 ???????? nn xnnnxnnn xxxx33 設(shè) 101 ?x ， nn xx ??? 61 ， ),2,1( ??n ，試證數(shù)列 }{ nx 極限存在，并求此極限 . (Ⅰ96 三 5) 3?l類題 34 .)(222的極限存在，并求之重根式證明數(shù)列 nx n ???? ?證 類題 ,21 nn xx ???遞推公式 ，222 21 ???? xx,221 ??x?又 ,2?nx設(shè) nn xx ??? 21則 22 ?? ,2?。0???? CBA)1(21ln22lim1 ?????? xxxBAxx。 48 (08,4 分 ) 設(shè)函數(shù) )( xf 在區(qū)間 ]1,1[ ? 上連續(xù)，則 0?x是函數(shù)xttfxgx??0d)()( 的（ ） (A) 跳躍間斷點(diǎn) (B) 可去間斷點(diǎn) (C) 無窮間斷點(diǎn) (D) 振蕩間斷點(diǎn) 例 4 解 xttfxgxxx???? 000d)(l i m)(l i m ,)0()(lim0 fxfx ?? ?所以 0?x 是函數(shù) )( xg 的可去間斷點(diǎn)。 【答案】 應(yīng)選 (C). 50 討論函數(shù) )1/(e1 1)( xxxf ??? 的間斷點(diǎn)及其類型 . 間斷點(diǎn)為 1?x 及 0?x ， 所以 1?x 為 ( 第一類 ) 跳躍間斷點(diǎn)； 所以 0?x 為 ( 第二類 ) 無窮型間斷點(diǎn)。1?? A43 函數(shù)的連續(xù)性及間斷點(diǎn)的分類： (92,5 分 ) 設(shè)函數(shù)????????????1 , 1 1 ,2s i n1)1c o s (ln)(xxxxxf?，問函數(shù) )( xf 在 1?x 處是否連續(xù)？若不連續(xù)，修改函數(shù)在1?x處的定義使之連續(xù)。}{ 是單調(diào)遞增的，由歸納法知 nxnn xx ??? 21則 12 ??? nx ,nx?,lim Ax nn ???設(shè),22 AA ??即35 設(shè)22222212111nnnnu n??????? ? ，求 nnu??lim . 解 例 5 222 )(11)2(11)1(11nnnnnnnu n??????? ??? ??ninin 1 2)(111? ??? ?? ?? 10 21 d xxn102 )1l n ( ??? xx .)21ln ( ??36 例 6 與上題不同 ,每一項(xiàng)根號里提出 n之后 ,得不到積分和式 ,改用夾逼定理 , 設(shè)nnnnu n???????22212111 ?，求 nnu??lim . 解,122 ???? nnunnnn,11limlim22???? ???? nnnnnnn因?yàn)?1lim ??? nn u所以37 無窮小量的比較： (89,3 分 ) 設(shè) 232)( ???xxxf ，則當(dāng) 0?x 時 (A) )( xf 與 x 是等價無窮小 (B) )( xf 與 x 是同階但非等價無窮小 (C) )( xf 是比 x 更高階的無窮小 (D) )( xf 是比 x 較低階的無窮小 【 】 解 例 1 xxxx232l i m0??? 13ln32ln2l i m0xxx???,16ln3ln2ln ????【答案】 應(yīng)選 (B)。 解 例 9 ，令 xt 1 ?)]1s i n1([l i m 2 xxxx???? 30s i nl i mtttt???20 3c os1l i mttt??? ttt 6s i nlim0?? .61?22 (+08,9 分 ) 計(jì)算極限 2202120211 )1(lim ? ??? xxx xx。 綜合 ， 1次。 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) (最值定理，介值定理，零點(diǎn)定理 ). 8 典型例題 ( Ⅱ 87 二 3) xxxxf c o se|s i n|)( ? ， ?????? x 是 ( ) . (A)有界函數(shù)； (B)單調(diào)函數(shù)； (C)周期函數(shù)； (D)偶函數(shù) 分析 此題主要是考察函數(shù)的性質(zhì) ,用定義來分析 . 當(dāng) 22 ?? ?? nx n 時 , 所以答案是 (D). 又 ， 顯然不是單調(diào)函數(shù)和周期函數(shù) ,并且很容易 證明它是偶函數(shù) . 解 只要 ??n , 則 ???? e)22()( ??nxf n , 所以 )( xf 無界 . )(xf例 1 9 ( 90 ) 設(shè) 函數(shù) xxxxf s i a n)( ??? , 則 )( xf 是 （ ） 類題 (A)偶函數(shù)； (B)無界函數(shù)； (C)周期函數(shù)； (D)單調(diào)函數(shù) 答案： (B) 10 ( Ⅰ 88 三 5) 設(shè)2e)( xxf ? , xxf ?? 1)]([ ?且 0)( ?x? , 求 )( x? 及其定義域 . 再求定義域： 即定義域?yàn)?]0,( ?? . 例 2 解 ,1e)]([ 2 )]([ xxf x ??? ??,)1l n ())(( 2 xx ??? ?，而 0)
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