典型相關(guān)分析因子分析(完整版)
【正文】 變量的協(xié)方差矩陣； 是 X和 Y的 其協(xié)方差矩陣。 如 ， 在工廠里常常要研究產(chǎn)品的 q個(gè)質(zhì)量指標(biāo) 和 p個(gè)原材料的指標(biāo) 之間的相關(guān)關(guān)系；也可以是采用典型相關(guān)分析來(lái)解決的問(wèn)題 。 如果能夠采用類似于主成分的思想 ， 分別找出兩組變量的線性組合既可以使變量個(gè)數(shù)簡(jiǎn)化 ， 又可以達(dá)到分析相關(guān)性的目的 。 1 2 2 1?? ? ? 如果我們記兩組變量的第一對(duì)線性組合為： ?11u = a X ?11v = b Y 其中： 1 1 2 1 1( , , , )pa a a ??1a1 1 2 1 1( , , , )qb b b ??1b1 2 2( ) 1V a r V a r??? ? ?1 1 1 1v b ( Y ) b b Σ b1() 11C o v u ,v C o v??? ? ? ?11u , v 1 1 1 2 1a ( X , Y ) b a Σb 所以，典型相關(guān)分析就是求 ?1和 b1，使 ?uv達(dá)到最大。 23 注 有相同的特征根，而可以驗(yàn)證： 1 11 1 1 2 2 2 2 1Σ Σ Σ Σ 1 12 2 2 1 1 1 1 2Σ Σ Σ Σ1 2 1 1 22 2 2 1 1 1 1 2 2 2? ? ?Σ Σ Σ Σ Σ/ 2 / 2 1 1 11 1 1 2 2 2 2 1 1 1Σ Σ Σ Σ2k k k? 1 / 2 1 12 2 2 2 2 1 1 1 1 2b= Σ β Σ Σ Σ Σ是 相對(duì)于特征根 的正交特征向量根據(jù)線性代數(shù)的思想，下列矩陣 21 1 2 2k k k? 1 / 2 1 12 2 1 2 2 1a= Σ α Σ Σ Σ Σ是 相對(duì)于特征根 的正交特征向量24 方法二 根據(jù)數(shù)學(xué)分析中條件極值的求法 ， 引入 Lagrange乘數(shù) ， 求極值問(wèn)題 ， 則可以轉(zhuǎn)化為求 11( , ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )22ab?? ?? ? ? ? ? ?1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1a Σ ba Σ ab Σ b 的極大值 ， 其中 ?和 ?是 Lagrange乘數(shù) 。 31 X1 X2 y1 y2 y3 X1 X2 y1 y2 y3 變量間的相關(guān)系數(shù)矩陣 典型相關(guān)分析 典型相 關(guān)系數(shù) 調(diào)整典型 相關(guān)系數(shù) 近似方差 典型相關(guān)系數(shù)的平方 1 2 X組典型變量的系數(shù) U1 U2 X1(就餐） X2（電影） Y組典型變量的系數(shù) V1 V2 Y1（年齡） Y2（收入） Y3（ 文化 ） 211 xxu ??212 xxu ???3211 yyyv ???3212 yyyv ???三、典型變量的性質(zhì) 同一組的典型變量之間互不相關(guān) ku ?? kax kv ?k= b y ikrik ?? 。 56 假設(shè)有 X組和 Y組變量，樣本容量為 n。 本例想利用我國(guó) 1999年城鎮(zhèn)居民的家庭收入來(lái)源和消費(fèi)性支出的數(shù)據(jù)了解我國(guó)居民消費(fèi)構(gòu)成及主要影響因素分析所用的數(shù)據(jù)來(lái)自： 《 中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒 》 2021。在當(dāng)代激烈的競(jìng)爭(zhēng)中，沒(méi)有知識(shí)的支撐是不行的。該 程序 名為 Canonical ，就放在 SPSS的安裝路徑之中，調(diào)用方式如下： INCLUDE 39。 居民消費(fèi)主要依據(jù)其可支配收入而定 。則特征向量構(gòu)成典型變量的系數(shù)，特征根為典型變量相關(guān)系數(shù)的平方。故 不同組的典型變量之間相關(guān)性 不同組內(nèi)一對(duì)典型變量之間的相關(guān)系數(shù)為： c o v ( , ) c o v ( )ijuv ??? ija x , b yc o v ( ) j????i i 1 2 ja x , y b a Σb?? 1 / 2 1 / 2i 1 1 1 2 2 2 jα Σ Σ Σ β0j? ???ijαα36 ,0,i ijij? ???? ??),m i n(,2,1 21 ppi ??同對(duì)則協(xié)方差為 ?i ， 不同對(duì)則為零。 2? 1? 1? 至此，典型相關(guān)分析轉(zhuǎn)化為求 M1和 M2特征根和特征向量的問(wèn)題。令 1211?α Σ a1222?β Σ b1211? ?Σ α a1222? ?Σ β b1? ?αα1? ?ββ13 利用柯西不等式有 （參看 ） ? ?212?a Σb? ?1 2 1 211 12 22 2???? ΣΣα Σβ? ? ? ?1 2 1 2 1 2 1 21 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2? ? ? ???? Σ Σ Σ β Σ Σ Σαα β? ? ? ?1 2 1 2 1 2 1 222 12 11 11 12 22? ? ? ??? β Σ Σ Σ Σ Σ Σ β1 2 1 1 22 2 2 1 1 1 1 2 2 2? ? ?? ?β Σ Σ Σ Σ Σ β14 記 m為 ?12的秩，則 1 2 1 1 22 2 2 1 1 1 1 2 2 2()r a n k ? ? ?Σ Σ Σ Σ Σ1 / 2 1 21 1 1 2 2 2 1 2( ) ( )r a n k r a n k m??? ? ?Σ Σ Σ Σ1 2 1 1 22 2 2 1 1 1 1 2 2 2 m? ? ?? Σ Σ Σ Σ Σ 有 個(gè)正特征根。調(diào)查了 70個(gè)家庭的下面兩組變量： ?????：戶主受教育程度：家庭的年收入：戶主的年齡321yyy???：每年外出看電影頻率率：每年去餐館就餐的頻
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