典型相關(guān)分析因子分析-展示頁
2025-05-25 16:36本頁面
【正文】 ?? 9 然后再在每組變量中找出第二對(duì)線性組合，使其分別與本組內(nèi)的第一線性組合不相關(guān)，第二對(duì)本身具有次大的相關(guān)性。如此繼續(xù)下去，直至進(jìn)行到 r步，兩組變量的相關(guān)性被提取完為止。 2 12 1 22 2 22 12 1 22 2 2ppqqu a x a x a xv b y b y b y? ? ? ???? ? ? ? ???二、 典型相關(guān)的數(shù)學(xué)描述 考慮兩組變量的向量 1 2 1 2( , , , , , , , )pqx x x y y y?Z其協(xié)方差陣為 pqpq???????11 1221 22ΣΣΣΣΣ（一）想法 其中 ?11是第一組變量的協(xié)方差矩陣； ?22是第二組變量的協(xié)方差矩陣； 是 X和 Y的 其協(xié)方差矩陣。 1( ) ( ) 1V a r u V a r??? ? ?1 1 1 1 1 1a X a a Σ a（二）典型相關(guān)系數(shù)和典型變量的求法 在 約束條件 : ( ) 1V a r u ???11a Σa( ) 1V a r v ???22b Σb下，求 a1和 b1，使 ?uv達(dá)到最大。2 2 212 0m? ? ?? ? ? ?記為 相應(yīng)的特征向量為 2, , , m1β β β其余的零特征根對(duì)應(yīng)的向量為 2, , ,m m q??1β β β15 由特征向量可以構(gòu)成一個(gè)正交矩陣 T，有 ? ?212?a Σb1 2 1 1 22 2 2 1 1 1 1 2 2 2? ? ??? β Σ Σ Σ Σ Σ β21mi i ii????? ?β β β β211miii????? ?β β β β2 2 21 1 1? ? ?? ? ?? ? ?β T T β β β16 若取 11??11221 11 12 22 1α = α Σ Σ Σ β? 1ββ 則 11? 111221 21 22α Σ Σ βΣ11?? ?1 1 1 1 2 2 2 21 22 1221 11 11 22 1Σβ Σ Σ Σ Σ Σ β111? ??11221 22 2 1 11 12 22 1β Σ Σ Σ Σ Σ β21111 ??? ???11ββ17 1 2 1 1 22 2 2 1 1 1 1 2 2 2? ? ?? Σ Σ Σ Σ Σ 的正特征根。 18 第一對(duì)典型相關(guān)變量提取了原始變量 x組和y組之間相關(guān)的主要部分，那么這部分的信息不夠，則還可以在剩余相關(guān)中提取第二對(duì)典型變量： 2u ?? ax 2v ?? bx 在以下的約束條件下： ? ? ? ? ? ?1 2 1 1 1, c o v , 0uu?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?1 1 1 1a x , a x a x a x a Σa? ? ? ? ? ?1 2 1, c o v 0vv?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?1 1 1 1b y , b y b y , b y b Σb1? ?aa 1? ?bb19 求 ? ? ? ? 12,kkuv?? ? ? ???a x , b y a Σb 令 1 /211α = Σ a22?1 /2b= Σβ 則，約束條件等價(jià)于 1? ?αα 1? ?ββ0i? ?αα 0? ?iββ1 , 2 , ,ik??1 /211a= Σα221 /2β = Σ b20 ? ? ? ? 22 1 / 2 1 / 211 22???? ?12 12a Σ b α Σ Σ Σ β? ?1 / 2 1 / 2 1 / 222 1 11 22? ? ???? 2 12α α β Σ Σ Σ Σ Σ β? ?1 / 2 1 / 2 1 / 222 1 11 22? ? ??? 2 12β Σ Σ Σ Σ Σ β21mi i ii????? ?β β β β21mi i ii????? ?β β β β? ? ? ?222 2 21 1 1m m mi i i i i k ii i i? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?β β β β β β β β22kk??????β T T β21 當(dāng)取 k?aa kb = b1 / 2 1 / 21 1 21 2 1 22k kk k ???? ?? ?a Σ b a ΣΣαΣb βΣ1 / 2 1 / 2 1 / 222 21 11 12 221kkk?? ? ??? β Σ Σ Σ Σ Σ β21k k k kk??? ???ββ 這時(shí) uk和 vk達(dá)到最大值 ?k,稱它為第 k個(gè)典型相關(guān)系數(shù)，稱 ak和 bk為第 k對(duì)典型變量系數(shù)。2 2 212 0m? ? ?? ? ? ?相應(yīng)的特征向量為 2, , , m1β β β1kkk??112211 12 22α = α Σ Σ Σ βk?ββ1211kk?a Σα= 1222kk??b Σβ ak和 bk分別構(gòu)成了第一組變量和第二組變量的 第 k對(duì)典型變量的系數(shù)。 110( 2)0a?????? ????????? ???12 1 11 121 1 22 1Σ b λ Σ aΣ a ν Σ b( 3 )???12 1 11 121 1 22 1Σ b λ Σ a = 0Σ a ν Σ b = 0 將上面的 3式分別左乘 和 ?1a ?1b? ???? ????1 1 2 1 1 1 1 11 2 1 1 1 2 2 1a Σ b λ a Σ a = 0b Σ a ν b Σ b = 011( , )uv?? ? ? ? ? ?1 12 1a Σ b將 左乘 （ 3） 的第二式 ， 得 112 22Σ Σ0? 1 11 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1Σ Σ
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